2025/2026 -- Letný semester

Prednášajúci

• doc. RNDr. Boris Rudolf, CSc., boris.rudolf[at]stuba.sk, miestnosť A - 403

Cvičiaci

• Paedr. Tomáš Visnyai, PhD., miestnosť A - 401
  

• doc. RNDr. Boris Rudolf, CSc., miestnosť A - 403
  

Oznamy

25.3.2026

Výsledky 1. testu sú zapísané v AIS. Priemerný výsledok je 11 bodov.

25.3.2026

V piatok 24. apríla 2026 bude v čase od 12:00 v miestnostiach AB - 300. CD - 300 a DE - 300 druhý priebežný test z Matematiky 2 za 15 bodov.

12.3.2026

Na test si prineste pripravené 3 listy formátu A4 podpísané Vašim menom a s údajom kedy chodíte na cvičenie (deň, čas a cvičiaci). Test bude trvať asi 45 minút.

25.2.2026

V piatok 20. marca 2026 bude v čase od 12:00 v miestnostiach AB - 300. CD - 300 a DE - 300 priebežný test z Matematiky 2 za 15 bodov.
Bude mať 3 príklady z oblastí:

• Definícia funkcie,
• Limita a spojitosť
• Dotyková rovina a diferencovateľnosť

• Derivácia v smere a gradient.
  

Rozpis pre jednotlivé miestnosti bude tu:

RozpisTest1.pdf.

Prednášky a cvičenia

1. týždeň

Pojem funkcia viacerých premenných a základné pojmy s ňou súvisiace.
Geometrická predstava o grafe funkcie dvoch premenných x,y. Pojmy vrstevnica, parciálna funkcia.

Prednášky.

Textová: Prednaska1.pdf
Video: Video Prednáška 1.
Chyba vo videu:
Všimnite si chybu v obrázku priamky v priestore v čase cca 13:30.

Cvičenia.

Cvičenie1riešené.
Neriešené Príklady 1: Priklady1.pdf

Skúste výpočty a prípadne kreslenie grafov použitím https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html
Najmä pre priestorovú predstavu funkcie dvoch premenných je vykreslenie grafov užitočné.

2. týždeň

Témou prednášky je limita a spojitosť funkcie viacerých premenných.
(Podstata pojmov je rovnaká ako pri funkcii jednej premennej, ale všimneme si aj významné rozdiely najmä pri limite zúženia na krivku.)

Prednášky.

Prednáška 2: Prednaska2.pdf
Video Prednáška 2.

Cvičenia.

Cvičenie2riešené.
Neriešené Príklady 2: Priklady2.pdf

3. týždeň

V treťom týždni začíname kapitolu diferenciálny počet funkcie viac premenných.
Zavedieme pojem parciálna derivácia.
Naučíme sa hľadať dotykovú rovinu ku grafu funkcie 2 premenných.
Dotykovú rovinu majú len diferencovateľné funkcie, povieme čo je diferencovateľnosť funkcie.
Zavedieme tiež 1. diferenciál funkcie viac premenných.

Prednášky.

Prednáška 3: Prednaska3.pdf
Video Prednáška 3.

Cvičenia.

Cvičenie3riešené.

Neriešené Príklady 3: Priklady3.pdf

4. týždeň

V tomto týždni dokončujeme kapitolu diferencovateľnosť funkcie a 1. diferenciál tým, že predvedieme ešte dva príklady.
A pokračujeme kapitolou derivácia v smere a gradient.
Videoprednášku som natiahol viac ako sa patrí. Preto je aj taká posekaná.
Aj tak sa mi tam nevošiel príklad na gradient, ako smer maximálneho rastu.
Nájdete ho v textovej prednáške 4 na konci textu.

Prednášky.

Prednáška 4: Prednaska4.pdf
Video Prednáška 4.
Chyba vo videu:
V prednáške 4 v čase 58:10 pri definícii gradientu je v poslednom riadku na tabuli chyba. Namiesto má byť druhá zložka gradientu .

Cvičenia.

Cvičenie4riešené.
Neriešené Príklady 4: Priklady4.pdf

5. týždeň

Hovoríme o derivovaní zloženej funkcie viacerých premenných.
Reťazové pravidlo demonštrujeme na niektorých príkladoch.
Definujeme druhý diferenciál a Taylorov polynóm druhého stupňa.
Ide o pojmy, ktoré použijeme v kapitole o lokálnych extrémoch.

Prednášky.

Prednáška 5: Prednaska5.pdf
Video Prednáška 5.
Vo videoprednáške 5 je v čase 32:30 preklep v označení parciálnej derivácie .

Cvičenia.

Cvičenie5riešené.
Neriešené Príklady 5: Priklady5.pdf

6. týždeň

Lokálne extrémy funkcie viacerých premenných.
Stacionárne body.
Kritériá pre určenie lokálneho extrému pomocou druhého diferenciálu a Taylorovho polynómu druhého stupňa.

Prednášky.

Prednáška 6: Prednaska6.pdf
Video Prednáška 6.
Vo videoprednáške 6 je v čase 1.15 nesprávne znamienko, zmiešaná derivácia má mať koeficient +2c. Pre ďalšie odvodenie je tento preklep nepodstatný, ďalej sa zmení znamienko vnútri zátvorky kvadratického výrazu.

Cvičenia.

Cvičenie6riešené.
Neriešené Príklady 6: Priklady6.pdf

7. týždeň

Viazané extrémy funkcie viacerých premenných.

Prednášky.

Prednáška 7: Prednaska7.pdf
Video Prednáška 7.

Cvičenia.

Cvičenie7riešené.
Neriešené Príklady 7: Priklady7.pdf

8. týždeň

Absolútne extrémy funkcie viacerých premenných.
Dvojný integrál. Úvodné pojmy. Miera oblasti v rovine.

Prednášky.

Prednáška 8: Prednaska8.pdf
Video Prednáška 8.

Cvičenia.

Cvičenie8riešené.
Neriešené Príklady 8: Priklady8.pdf

9. týždeň

Dvojný integrál, pokračovanie. Fubiniho veta na obdĺžniku.

Prednášky.

Video Prednáška 9.
Textová prednáška, ktorá pokrýva obsah videa je v minulom týždni prednáška č 8.
Aj obsah cvičení je o týždeň popredu, resp. video prednášky a aj živé prednášky mierne zaostávajú oproti textom.

Cvičenia.

Cvičenie9riešené.
Neriešené Príklady 9: Priklady9.pdf

10. týždeň

Fubiniho veta na elementárnej oblasti.
Vlastnosti dvojného integrálu.

Prednášky.

Prednáška 10: Prednaska9.pdf
Video Prednáška 10.

(číslovanie sa trošku poposúvalo, ale obsahovo sa video a textová prednáška prekrývajú)

Cvičenia.

Cvičenie10riešené.

11. týždeň

Substitúcia v dvojnom integráli.
Substitúcia použitím polárnych súradníc.

Prednášky.

Prednáška 11: Prednaska10.pdf
Video Prednáška 11.

Cvičenia.

Cvičenie11riešené.
Neriešené Príklady 10: Priklady10.pdf

12. týždeň

Niektoré aplikácie dvojného integrálu.

Prednášky.

Prednáška 11: Prednaska11.pdf
Video Prednáška 12.

Cvičenia.

Neriešené Príklady 11: Priklady11.pdf

Vo videu je preklep v čase cca 1:12-1:13. Horná hranica integrálu je napísaná ako namiesto správneho . Ďakujem za upozornenia.

Skriptum

Tu nájdete spísané prednášky do podoby skrípt.
Matematika 2

Literatúra

• Základná:

1. SATKO, L. -- ŠULKA, R. Matematická analýza 2 : Diferenciálny a integrálny počet funkcie viac premenných. Bratislava: STU v Bratislave, 1995. 160 s.
2. MORAVSKÝ, L. -- MORAVČÍK, J. -- ŠULKA, R. Matematická analýza 2. Bratislava: Alfa, 1992. 552 s.
3. BRABEC, J. -- HRŮZA, B. Matematická analýza II. Praha: SNTL, 1986. 579 s.
4. MARKO, Ľ. Matematická analýza online. [online]. 2003. URL: http://www.fei.stuba.sk/~marko.

• Odporúčaná:

1. Edwards, C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry, (3rd edition), Prentice Hall International, New York 1990
2. Glyn, J.: Modern engineering mathematics, Addison Wesley, 2008

Ďalšie príklady môžete nájsť v elektronickej literature uvedenej nižšie.
Tiež v zbierke Eliáš, Horvath, Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3. resp. 4. diel. (dostupná napr. v študovni)

Ďalšia literatúra

Tu je elektronická verzia literatúry, (autor Doc. RNDr. Ladislav Satko CSc.):
(pre tento predmet sú relevantné kapitoly 3 a 4. Kvôli pohodliu čitateľa sú predchádzajúce kapitoly 1 a 2 z textu vypustené)
Matematická analýza - pdf

Staré oznamy

Skúška a Podmienky účasti na skúške z M2

• Celkový počet bodov na skúške z M2 je 100.
  

• Počas semestra budú 2 testy, na ktorých môže študent získať 30 bodov a prípadne bonusové body naviac.
  Orientačný termín: 1.test v šiestom týždni semestra, 2.test v desiatom týždni semestra.

• Nutnou podmienkou účasti na skúške z M2 je počas semestra získať aspoň 15 bodov.
  

• Skúška je písomná. Pozostáva z úloh na riešenie.
  

• Na záverečnej písomke môžete získať 70 bodov.
  

• Podvádzanie pri skúške má za následok hodnotenie nevyhovel.
  

• Rozsah príkladov a ich bodové hodnotenie upresníme pred koncom semestra.

• Neúčasť na skúške je potrebné ospravedlniť na PGO najneskôr do piatich dní a doložiť patričným dokladom. Pokiaľ sa študent neospravedlní do daného termínu, nemá nárok na náhradný termín.
  

• Na písomkách a na skúške sa nepoužívajú žiadne pomôcky.