\input amstex
{\catcode`@=11\gdef\logo@{}}
\magnification=\magstep1
\NoBlackBoxes
\input epsf

\documentstyle{amsppt}
\hsize 179truemm
\vsize 270truemm

\def\softl{l\kern-0.1em\lower-0.05ex\hbox{\char39}\kern-0.1em}
\def\softL{L\kern-0.25em\lower-0.3ex\hbox{\char39}}
\def\softt{t\kern-0.12em\lower-0.05ex\hbox{\char39}}

%\NoPageNumbers

\TagsOnRight

\shyph

\def\8{\eightpoint}
\def\go#1;#2;#3 {\vbox to0pt{\kern-#3\hbox{\kern#2 #1}\vss}\nointerlineskip}
\advance\hoffset by-12truemm \advance\voffset by-20truemm
\def\defin{\definition{Def\hskip1.2truept in\'\i cia}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\topmatter
\title
Matematika 1 --- predn\'a\v ska 1
\endtitle

\author Michal Zajac \endauthor

\endtopmatter

\document


\comment

$$\xxalignat4
c'&=0&(cf)'&=[cf]'&[f+g]'&=f'+g'\\
[fg]'&=f'g+fg'&\left[\tfrac fg\right]'&=\tfrac{f'g-fg'}{g^2}&[f(g(x)]'&=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)&[x^n]'&=nx^{n-1}&\\
[e^x]'&=e^x&[\ln x]'&=\tfrac1x&[a^x]'&=a^x\ln a&[\log_ax]'&=\tfrac1{x\ln a}&\\
[\sin x]'&=\cos x&[\cos x]'&=-\sin x&[\operatorname{tg}x]'&=\frac1{\cos^2 x}&[\operatorname{cotg}x]'&=\tfrac{-1}{\sin^2 x}& \\
[\operatorname{arcsin}x]'&=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}&[\operatorname{arccos}x]'&=\tfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}&[\operatorname{arctg}x]'&=\tfrac1{1+x^2}&[\operatorname{arccotg}x]'&=\tfrac{-1}{1+x^2}&
\endxxalignat
$$

\endcomment

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subhead Zoznam zna�iek \endsubhead

\advance\parindent by 20truept
\item{$\Bbb N$:}  mno�ina v�etk�ch prirodzen�ch ��sel
\item{$\Bbb Z$:}  mno�ina v�etk�ch cel�ch ��sel
\item{$\Bbb R$:}  mno�ina v�etk�ch re�lnych ��sel
\item{$\Bbb C$:}  mno�ina v�etk�ch komplexn�ch ��sel 
\item{$a\in A$:}  $a$ patr� do mno�iny $A$ 
\item{$\operatorname{Re}z$:} re�lna �as� ��sla $z\in \Bbb C$
\item{$\operatorname{Im}z$:} imagin�rna �as� ��sla $z\in \Bbb C$
\item{$\operatorname{arg}z$:} argument ��sla $z\in \Bbb C$
\item{$\forall$:} pre v�etky (pre ka�d�)
\item{$\exists$:} existuje
\item{$\exists!$:} existuje pr�ve jedno
\item{$\not\nexists$:} neexistuje
\item{$\emptyset$:} pr�zdna mno�ina

\advance\parindent by -20truept
\head
1. Komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla
\endhead


Najprv pripomenieme niektor\'e zn\'ame vlastnosti re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.
\proclaim{Veta}
Nech $a,b,c\in \Bbb R$ potom plat\'{\i}:
\itemitem{\rm(i)}   $a+b=b+a$   (komutat\'{\i}vnos\v{t} s\v{c}\'{\i}tania)
\itemitem{\rm(ii)}  $a+(b+c)=(a+b)+c$ (asociat\'{\i}vny z\'akon)
\itemitem{\rm(iii)} $a+0=a$
\itemitem{\rm(iv)}  $a+(-a)=0$
\itemitem{\rm(v)}   $ab=ba$     (komutat\'{\i}vnos\v{t} n\'asobenia)
\itemitem{\rm(vi)}  $a(bc)=(ab)c$  (asociat\'{\i}vny z\'akon)
\itemitem{\rm(vii)} $1\cdot a=a$
\itemitem{\rm(viii)}  Ak $a\ne 0$, tak $\exists \frac1a\in R$ a
plat\'{\i} $a\cdot\frac1a=1$
\itemitem{\rm(ix)}  $a(b+c)=ab+ac$ (distribut\'{\i}vny z\'akon)
\endproclaim

Vieme, \v{z}e neexistuje $x\in \Bbb R$, pre ktor\'e $x^2=-1$. Tento
,,nedostatok'' re\'alnych \v{c}\'{\i}sel odstr\'anili ma\-te\-ma\-ti\-ci tak, \v{z}e si
tak\'e \v{c}\'{\i}slo ,,vymysleli''. Vol\'a sa {\it imagin\'arna jednotka} a ozna\v{c}ova� ho
budeme p\'{\i}smenom $i$ (v elektrotechnick\'ych aplik\'aci\'ach je
zau\v{z}\'{\i}van\'e aj ozna\v{c}enie $j$).

\defin Nech $x, y\in R$. \newline
V\'yraz tvaru $iy$ sa naz\'yva {\it imagin\'arne \v{c}\'{\i}slo},
v\'yraz tvaru $x+iy$ sa naz\'yva {\it komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo}
({\it algebraick\'y tvar} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla).
Mno\v{z}inu v\v{s}etk\'ych komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel budeme ozna\v{c}ova\v{t} $\Bbb C$.
\enddefinition
V mno\v{z}ine v\v{s}etk\'ych komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel s\'u oper\'acie s\v{c}\'{\i}tania a
n\'asobenia ur\v{c}en\'e vz�ahom $i^2=-1$ a vlastnos�ami (i)--(ix).
Teda
ak $a,b,a_1,b_1,a_2,b_2\in\Bbb R$, tak
$$
\align
a+ib&=0 \iff a=b=0\\
(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)&=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\\
(a_1+ib_1)(a_2+ib_2)&=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)\\
-(a+ib)&=(-a)+i(-b)\\
(a+ib)(a-ib)&=a^2+b^2\in R\\
\text{ak }a+ib\ne0\text{ tak }\frac1{a+ib}&=\frac1{a+ib}\,\frac{a-ib}{a-ib}=\frac
a{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}
\endalign
$$
Predch\'adzaj\'uce vz�ahy sa �ahko overia priamym v�po�tom, napr.:
$$\multline
(a_1+ib_1)(a_2+ib_2)=a_1(a_2+ib_2)+ib_1(a_2+ib_2)=
a_1a_2+ia_1b_2+ib_1a_2+i^2b_1b_2=\\
(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)
\endmultline
$$
Uk�zali sme, �e s��tan�m, n�soben�m a delen�m dvoch komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel dostaneme znova komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo (t.j. v\'yraz tvaru $x+iy$,
kde $x,y\in \Bbb R$ a tieto oper\'acie sme definovali tak, \v{z}e aj
komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla sp\'l\v{n}aj\'u vlastnosti (i)--(ix) re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.

\defin
Nech $x,y\in\Bbb R$, $z=x+iy\in \Bbb C$. Potom sa $x$ naz\'yva {\it re\'alna
\v{c}as� a $y$ {\it imagin\'arna \v{c}as�} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$, ozna\v{c}ujeme:
$$
x=\operatorname{Re}z\,,\qquad  y=\operatorname{Im}z\,,
$$
 \v{c}\'{\i}slo $\overline z=x-iy$ sa naz\'yva \v{c}\'{\i}slo {\it komplexne zdru\v{z}en\'e} s \v{c}\'{\i}slom $z$.
\enddefinition  
Priamym v\'ypo\v{c}tom sa d\'a overi\v{t}, \v{z}e plat\'{\i}
\proclaim{Veta}
Nech $z,z_1,z_2\in\Bbb C$. Potom 
\itemitem{\rm(i)}  $\overline{\overline{z}}=z$,\qquad\qquad\qquad\quad\;  {\rm(iii)}
$\overline{z_1z_2}=\overline{z}_1\overline{z}_2$,
\itemitem{\rm(ii)}
$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, \qquad {\rm(iv)} $\operatorname{Re}z=\frac12(z+\overline z)$,\quad
                                                                     $\operatorname{Im}z=\frac1{2i}(z-\overline z)$.
\endproclaim

\example{Pr\'{\i}klad}
Vypo\v{c}\'{\i}tajte (t.j. nap\'{\i}\v{s}te v algebraickom tvare) \v{c}\'{\i}sla
\halign{#) &$#$\hfil\qquad&#) &$#$\hfil\qquad&#)
&$#$\hfil\cr
a&i^{23}&b&\dfrac1i&c&\dfrac{2+3i}{i}\cr
d&\dfrac{1+i}{2-i}&e&\dfrac{(2-i)^2}{1+i}&f&(1-i)^6\cr}
\endexample
\example{Rie\v{s}enie}
\item{a)} V\v{s}imnime si, \v{z}e $i^2=-1$, $i^3=-i$,
$i^4=1$, potom dostaneme\item{}
$i^{23}=i^{5\cdot4+3}=(i^4)^5i^3=1^5(-i)=-i$,

\item{b)} $\dfrac1i=\dfrac1i\,\dfrac{-i}{-i}=\dfrac{-i}{1}=-i$,

\item{c)} $\dfrac{2+3i}{i}=\dfrac{1}{i}(2+3i)=-i(2+3i)=-2i-3i^2=3-2i$,

\item{d)} $\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{1+i}{2-i}\dfrac{2+i}{2+i}=
\dfrac{(1+i)(2+i)}{4+1}=\dfrac{2+i+2i+i^2}{5}=\dfrac{1}{5}+i\dfrac{3}{5}$,

\item{e)} $\frac{(2-i)^2}{1+i}=\frac{4-4i+i^2}{1+i}=
\frac{(3-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-4i+4i^2}{2}=
-\frac12-i\frac72$

\item{f)}
$(1-i)^6=((1-i)^2)^3=(1-2i+i^2)^3=(-2i)^3=(-2)^3i^3=-8(-i)=8i$.
\endexample


\subhead
Geometrick\'a interpret\'acia komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel
\endsubhead

Komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo je ur\v{c}en\'e usporiadanou dvojicou re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.
K ��slu $z\in\Bbb C$ m\^o\v{z}eme priradi� dvojicu re\'alnych \v{c}\'{\i}sel
$(x=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z)$ a teda aj bod v
rovine, kto�ho s�radnice s� $[x,y]$. Je t\'ym tie\v{z} ur\v{c}en\'y aj vektor v rovine, ktor\'eho po\v{c}iato\v{c}n\'y
bod je  $[0,0]$ a koncov\'y bod je $[x,y]$.

Komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo
$z=x+iy$ stoto\v{z}n\'{\i}me s t\'ymto vektorom. Pritom aj obvykl\'e s\v{c}\'{\i}tanie
vektorov v rovine zodpoved\'a s\v{c}\'{\i}taniu komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel.
Pou\v{z}\'{\i}vame pravouhl\'e s\'uradnice v rovine, ale na
zd\^oraznenie, \v{z}e v nej kresl\'{\i}me komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla budeme os $x$
naz\'yva\v{t} re\'alna os a os $y$ imagin\'arna os.

D\'l\v{z}ka tohoto vektora sa naz\'yva absol\'utna hodnota
komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$. Ak je $z\ne 0$ je tento vektor
jednozna\v{c}ne ur\v{c}en\'y svojou d\'l\v{z}kou a orientovan\'ym
uhlom, ktor\'eho po\v{c}iato\v{c}n\'ym ramenom je vektor $(1,0)$
(teda kladn\'a \v{c}as\v{t} re\'alnej osi) a koncov\'ym ramenom je
vektor $z=(x,y)$ Pripome\v{n}me, \v{z}e orient\'acia uhla je
kladn\'a ak sa jeho po\v{c}iato\v{c}n\'e rameno dostane do
koncov\'eho rameno ot\'a\v{c}an\'{\i}m okolo vrchola proti smeru
hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek. Ve\v{l}kos\v{t} orientovan\'eho
uhla $\varphi>0$ budeme ur\v{c}ova\v{t} v obl\'ukovej miere,
radi\'anoch, teda je ur\v{c}en\'a d\'l\v{z}kou cesty, ktor\'u
prejde koncov\'y bod vektora d\'l\v{z}ky 1 pri ot\'a\v{c}an\'{\i}
o uhol $\varphi$ proti smeru hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek,
z\'aporn\'e uhly rovnako zodpovedaj\'u ot\'a\v{c}aniu v smere
hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek.
$$
\vbox{\offinterlineskip\hsize110mm
\centerline{\8 Tabu\v{l}ka hodn\^ot $\cos\alpha$ a $\sin\alpha$}
\smallskip
\halign{\vrule width0pt depth5pt height
11pt \vrule\hfil$\;#\;$\hfil&&\vrule\hfil$\quad#\quad$\cr
\noalign{\hrule}
\text{stupne} &\alpha&360    &180&90         &60&45&30&\omit\vrule\cr
\text{radi\'any}&\frac{2\pi}{360}\alpha      &2\pi
&\pi&\frac{\pi}2&\frac{\pi}3&\frac{\pi}4&\frac{\pi}6&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
\cos&\cos\alpha&1&-1&0&\frac12&\frac12\sqrt2&\frac12\sqrt3&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
\sin&\sin\alpha&0&0&1&\frac12\sqrt3&\frac12\sqrt2&\frac12&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
}}
$$
\vbox to 5cm{
\centerline{\epsfbox{goniom.eps}}
\centerline{\8 Obr.~1 Geometrick\'a interpret\'acia komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla.}
} %vlo\v{z}it obrazok


\defin
Nech $z=x+iy\in\Bbb C$, $x,y\in\Bbb R$.
\itemitem{(i)} 
Nez\'aporn\'e \v{c}\'{\i}slo $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ sa naz\'yva {\it absol\'utna  hodnota} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$,
\itemitem{(ii)} 
Ak je navy\v{s}e $z\ne 0$, tak orientovan\'y uhol $\varphi$, pre ktor\'y $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, naz\'yvame
{\it argument} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$.
\itemitem{(iii)} 
$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ sa naz\'yva {\it goniometrick\'y tvar} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$.
\enddefinition
Poznamenajme, \v{z}e ak $\varphi$ je argument \v{c}\'{\i}sla $z$, tak je $\varphi+2k\pi$ pre $\forall k\in Z$ tie\v{z} argumentom
\v{c}\'{\i}sla $z$. Vyjadrenie \v{c}\'{\i}sla $z$ v goniometrickom tvare je vlastne len preformulovan\'{\i}m defin\'{\i}cie funkcie
$\sin\varphi$ a $\cos\varphi$ pre orientovan\'e uhly. 

Goniometrick\'y tvar komplexn\'eho
\v{c}\'{\i}sla sa skr\'atene
zapisuje v exponenci\'alnom tvare:
$$
z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|e^{i\varphi}\,,\quad\text{kde
\v{c}\'{\i}slo }e\text{ je z\'aklad prirodzen\'eho logaritmu.}
$$
Opr\'avnenos� tohoto z\'apisu je vidie� z geometrickej interpret\'acie n\'asobenia komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel:


\proclaim{Veta}
Ak $\alpha,\beta\in\Bbb R$, tak
$$
(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=
\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\,.
$$
\endproclaim
Toto tvrdenie sa d\'a dok\'aza\v{t} pomocou geometrick\'ych \'uvah a je ekvivalentn\'e so s\'u\v{c}tov\'ymi vzorcami zn\'amymi zo strednej \v{s}koly
(overte si to):
$$\xalignat2
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,,&
\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,,
\\
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\,,&
\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\,.
\endxalignat
$$
Teda pri n\'asoben\'{\i} komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel sa ich argumenty s\v{c}\'{\i}taj\'u.
Absol\'utne hodnoty sa n\'asobia, \v{c}o je jedn\'ym z tvrden\'{\i} nasleduj\'ucej
vety: 
\proclaim{Veta}
Pre $\forall z,w\in\Bbb C$ plat\'{\i}:
\itemitem{\rm(i)} $|z+w|\le |z|+|w|$ (trojuholn\'{\i}kov\'a nerovnos\v{t})
\itemitem{\rm(ii)} $|zw|=|z||w|$.
\endproclaim
Obe tvrdenia sa daj\'u �ahko overi� v\'ypo\v{c}tom. Ak nie s\'u vektory
$z,w$ rovnobe\v{z}n\'e, tak je vektor $z+w$ uhloprie\v{c}ka vo vhodnom rovnobe\v{z}n\'{\i}ku (nakreslite
ho) nerovnos� (i) je zn\'ame tvrdenie, \v{z}e strana trojuholn\'{\i}ka je
krat\v{s}ia ako s\'u\v{c}et d\'l\v{z}ok zvy\v{s}n\'ych dvoch str\'an.

Predch�dzaj�ce 2 vety maj\'u nasleduj\'uci d\^osledok, ktor\'y je zn\'amy ako
\proclaim{Moivreova veta}
Ak $r,\phi\in\Bbb R$, $r>0$, $n\in N$, tak
$$
[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n[\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)]\,\quad\text{alebo v exponenci�lnom tvare }\left(re^{i\*\varphi}\right)^n=r^ne^{i\*n\varphi}.
$$
\endproclaim

Moivreova veta sa pou\v{z}\'{\i}va na rie\v{s}enie rovnice $z^n=c$, kde $c\ne0$ je zn\'ame komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo,  $n\in\Bbb N$ a nezn\'ama $z$ sa h�ad\'a v mno\v{z}ine $\Bbb C$. Pop\'{\i}\v{s}eme teraz ako sa binomick\'a rovnica rie\v{s}i:

\itemitem{1.} prav\'u stranu vyjadr\'{\i}me v goniometrickom tvare a rie\v{s}ime rovnicu
$$
z^n=|c|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|c|[\cos(\varphi+2k\pi)
+i\sin(\varphi+2k\pi)]\,,\quad k\in \Bbb Z\,.
$$

\itemitem{2.}
Nezn\'amu $z$ budeme h\v{l}ada\v{t} v goniometrickom tvare, teda h\v{l}ad\'ame
kladn\'e \v{c}\'{\i}slo $r$ a uhol $\alpha\in R$, tak aby
$z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ bolo rie\v{s}enie rovnice $z^n=c$, t.j.
$$
r^n[\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)=|c|[\cos(\varphi+2k\pi)
+i\sin(\varphi+2k\pi)]\,,\quad k\in Z\,.
$$
\itemitem{3.}
Vidie\v{t}, \v{z}e predch\'adzaj\'uca rovnos\v{t} plat\'{\i} pre
$r=\root n\of{|c|}$ a $\alpha=\frac{\varphi+2k\pi}n=
\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n$, $k\in\Bbb Z$ a teda
$$
z_k=\root n\of{|c|}\Bigl[
\cos\bigl(\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n\bigr)+
\sin\bigl(\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n\bigr)
\Bigr]\,,\quad k=0,1,2,\dots,n-1
$$
je $n$ r\^oznych rie\v{s}en\'{\i} danej binomickej rovnice.
\itemitem{4.} $\frac{\varphi}{n}+(k+n)\frac{2\pi}n
=\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n+2\pi\implies z_{n+k}=z_k$, teda takto viac
rie\v{s}en\'{\i} nevyr\'atame.
Plat\'{\i} tvrdenie, \v{z}e rie\v{s}enie in\'eho tvaru rovnica nem\'a, ale
nebudeme ho teraz dokazova�.
Poznamenajme e\v{s}te, \v{z}e rie\v{s}enia binomickej rovnice le\v{z}ia na
kru\v{z}nici so stredom v bode $0$ a polomerom $\root n\of{|c|}$
a tvoria vrcholy pravideln\'eho $n$-uholn\'{\i}ka.

E�te ,,jednoduch�ie'' je rie�enie v exponenci�lnom tvare:
$$
z^n=|c|e^{i\varphi}=|c|e^{i(\varphi+2k\pi)}\implies z_k=\root n\of {|c|}e^{\frac1ni(\varphi+2k\pi)}=
\root n\of {|c|}e^{i(\frac{\varphi}n+k\frac{2\pi}n)}\,,\quad k=0,1,\dots,n-1\,.
$$


\example{Pr\'{\i}klad}
Rie\v{s}te rovnicu $z^3=-8i$ a v\'ysledok nap\'{\i}\v{s}te v algebraickom tvare
a zn\'azornite.
\medskip
\hbox to \hsize{\vbox{\hsize40mm
\epsfxsize35mm\epsfbox{binomr8i.eps}}\hfil\vbox{\hsize 100mm\parindent 0pt
Najprv prav\'u stranu zn\'azorn\'{\i}me a z obr\'azku
ur\v{c}\'{\i}me absol\'utnu hodnotu $|-8i|=8$ a argument
$\varphi=\frac32\pi$ a teda rie\v{s}ime rovnicu
$$
z^3=8\bigl[\cos\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)+i\sin\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)\Bigr]=8e^{i(\frac32\pi+2k\pi)}
$$}}
Odmocnen\'{\i}m absol\'utnej hodnoty a delen\'{\i}m argumentu dostaneme
rie\v{s}enie:

\line{\vbox to 35mm{\hsize120mm\parindent 0pt
$$\align
z_k&=2\bigl[\cos\frac13\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)+
i\sin\frac13\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)\bigr]\,, k=0,1,2
\\
z_0&=2\bigl[\cos\frac12\pi+i\sin\frac12\pi\bigr]=2i
\\
z_1&=2\bigl[\cos\bigl(\frac12\pi+\frac{2\pi}3\bigr)+
i\sin\bigl(\frac12\pi+\frac{2\pi}3\bigr)\bigr]=
2\bigl[\cos\frac76\pi+i\sin\frac76\pi\bigr]=-\sqrt3-i
\\
z_2&=2\bigl[\cos\bigl(\frac12\pi+\frac{4\pi}3\bigr)+
i\sin\bigl(\frac12\pi+\frac{4\pi}3\bigr)\bigr]=
2\bigl[\cos\frac{11}6\pi+i\sin\frac{11}6\pi\bigr]=\sqrt3-i
\endalign
$$}\hfil\vbox to 25mm{\hsize30mm
\go{$z_0$};13mm;-2mm
\go{$z_1$};3.5mm;-16mm
\go{$z_2$};18mm;-16mm
\go{\8Re};21mm;-13mm
\go{\8Im};8mm;0mm
\go{\epsfxsize25mm\epsfbox{ries-8i.eps}};0mm;0mm }}
\endexample


\define\ries{rie\v ste}
\define\vypo{vypo\v c\'\i tajte}
\define\Ries{Rie\v ste}
\define\Vypo{Vypo\v c\'\i tajte}
\define\Vysl{\bf V\'ysledky}
\define\arctg{\operatorname{arctg}}

%\document

\subhead
 \'Ulohy
\endsubhead


\item {1.}  N\'{a}jdite v\'{y}sledok oper\'{a}cie v tvare $x+yi$, kde
$x,y\in\Bbb R$ (t.j. v algebraaickom tvare).

\hbox to0.9\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.}
$3+7i-(5-2i)(4-i)$
\itemitem{b.} $i(1+i)(1-i)(1+2i)(1-2i)$
\itemitem{c.} $\frac{(1-7i)}{(2+3i)}$
}\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{d.} $\frac{a+bi}{a-bi}$, $a,b\in\Bbb R$
\itemitem{e.} $\frac{i(2+3i)}{3+5i}$}}


\item{2.} N\'{a}jdite v\v{s}etky $x,y\in \Bbb R$ tak\'e, \v{z}e

\hbox to0.9\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.} $(2x+3y)+i(x-y)=-1+2i$
\itemitem{b.} $(ix+y)(2x-3iy)=2i$}
\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{c.} $\dfrac{-y+ix}{1-2i}+\dfrac{x+iy}{2+3i}=1$}}

\item{3.}
Dan\'e komplexn\'{e} \v{c}\'{\i}slo zn\'azornite a n\'{a}jdite
jeho goniometrick\'{y} a exponenci�lny tvar.
\newline
\hbox to0.85\hsize{\hfil{a.} $\;-5$\hfil
{b.} $\;1-i$\hfil {c.} $\;\sqrt{3}-i$\hfil {d.} $\;-5i$\hfil {e.}
$\;2+3i$\hfil{f.} $\;-3-7i$}

\item{4.}  \Vypo\ $zu,\frac{z}{u},z^{n}$.

\itemitem{a.}
$z=\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{5}+i\sin\frac{7\pi}{5})$,
$u=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$, $n=5$
\itemitem{b.} $z=3(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$,
$u=6(\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8})$, $n=2004$

\item{5.} V obore komplexn\'ych \v c\'\i sel \ries\ rovnicu. V\'ysledok
vyjadrite v algebraickom aj goniometrickom alebo exponenci�lnom tvare a zn\'azornite.
\newline
\hbox to0.85\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.} $z^4=4$
\itemitem{b.} $z^4=-4$}\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{c.} $z^3=-8i$
\itemitem{d.} $z^4=-1-i\sqrt3$}}

\item{6.} \Vypo.
\newline
\hbox to 0.8\hsize{{a.} $\;i^{101}$\hfil{b.} $\;(1+i)^4$\hfil
{c.} $\;\bigl(\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2\bigr)^8$}



\head
2. S\'ustavy line\'arnych rovn\'\i c
\endhead

\subhead 1.1 Jedna rovnica s jednou nezn�mou \endsubhead

$$\xalignat2
ax&=b\,,& &\text{ kde }a,b\in\Bbb C\text{ s� dan� ��sla, m�me n�js� v�etky }x\in\Bbb C\text{, ktor� sp\'l\v naj\'u dan� rovnicu.}\\
\endxalignat
$$
Rie�enie:
\itemitem{a.} Ak $a\ne 0$, tak $\exists!\,x=\frac{b}a$\quad (pr�ve jedno rie�enie),
\itemitem{b.} Ak $a=0\wedge b\ne0$, tak �iadne $x\in\Bbb C$ nesp\'l\v na $0\cdot x=b$\quad (�iadne rie�enie),
\itemitem{c.} Ak $a=0\wedge b=0$, tak ka�d� $x\in\Bbb C$ sp\'l\v na $0\cdot x=b$ \quad (neklone�ne ve�a rie�en�).

Rovnak� tri mo�nosti s� pre po�et rie�en� v�etk�ch s�stav s komplexn�mi (aj re�lnymi) koeficientami.


V pr�pade $a,b\in\Bbb R$ vieme, �e pre vz�jom� polohu priamok $p\equiv y=ax\quad$ a $\quad q\equiv y=b$ s� presne 3 mo�nosti:
\itemitem{1.} m��u sa pret�na� v jednom bode $p\cap q=\bigl[\frac ba,b\bigr]$,
\itemitem{2.} m��u by� rovnobe�n� r�zne ($p\parallel q$)\quad alebo\quad  3. toto�n� ($p=q$)


\subhead 1.1 S�stava $m$ line�rnych rovn�c s $n$ nezn�mymi $m,n\in\Bbb N$, $m\ge1$, $n>1$ \endsubhead
\smallskip

Nech $a_{ij}\in\Bbb R\,(\Bbb C)$, $b_j\in\Bbb R\,(\Bbb C)$, $i\in\{1,\dots,m\}$, $j\in\{1,\dots,n\}$ s� dan� ��sla. S�stavou $m$ line�rnych rovn�c s $n$ nezn�mymi
naz�vame:
$$
\matrix\format\r\,&\l\\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\;\dots\;+a_{1n}x_n&=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\;\dots\;+a_{2n}x_n&=b_2\\
\hdotsfor 2\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=b_m
\endmatrix
\tag S
$$
Rie�i� s�stavu (S) znamen� n�js� mno�inu $P$ v�etk�ch usporiadan�ch $n$-t�c  re�lnych (komplexn�ch) ��sel, pre ktor� po dosaden� do ka�dej rovnice zo s�stavy (S) za $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ vznikne rovnos�.

\definition{Defin�cia} $\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$) ozna�uje mno�inu v�etk�ch usporiadan�ch $n$-t�c re�lnych (komplexn�ch) ��sel.
\newline
Nech $\bold x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$),  $\bold y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$) a $\alpha\in\Bbb R$ ($\Bbb C$). Potom
\itemitem{(i)} $\bold x+\bold y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots,x_n+y_n)$ sa naz�va s��et $n$-t�c $\bold x$ a $\bold y$.
\itemitem{(ii)} $\alpha \bold x=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots,\alpha x_n)$ sa naz�va n�sobok $n$-tice $\bold x$ ��slom $\alpha$.
\itemitem{(iii)} $n$-tica $\bold0=(0,0,\dots,0)\in\Bbb  R^n$ ($\Bbb C^n$) sa naz�va nulov� $n$-tica.
\itemitem{(iv)} $-\bold x=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)$ sa naz�va $n$-tica opa�n� k $n$-tici $x$.
\enddefinition


\definition{Defin�cia}
Tabu�ku zostaven� z re�lnych (komlexn�ch) ��sel $a_{ij}$, $i\in\{1,2,\dots m\}$, $j\in\{1,2,\dots n\}$
$$
A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\hdotsfor4\\a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endpmatrix=(a_{ij})\Sb 1\le\,i\,\le m\\1\le j\le\le n\endSb
$$
naz�vame matica typu $m\times n$. Mno�inu v�etk�ch mat�c typu $m\times n$ budeme ozna�ova� $\Bbb R^{m\times n}$, respekt�ve $\Bbb C^{m\times n}$.
Usporiadan� $n$-tice $A_{i*}=\pmatrix a_{i1}&a_{i2}&\hdots&a_{in}\endpmatrix$ sa naz�vaj� riadky a usporiadan� $m$-tice $A_{*j}=\pmatrix a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\endpmatrix$ sa naz�vaj� st�pce matice $A$.
\enddefinition
Pri rie�en� s�stavy (S) budeme pou��va� jej z�pis pomocou mat�c:\newline
matica s�stavy (S):\qquad\qquad
$A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\hdotsfor4\\a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endpmatrix$,\newline
roz��ren� matica s�stavy (S): $\tilde A=\left(\matrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\vspace{3pt}\hdotsfor4\\\vspace{2pt}a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endmatrix\right|\left.\matrix
b_1\\b_2\\\vdots \\b_m\endmatrix\right)$,

Potom s�stavu (S), resp. jej roz��ren� maticu $\tilde A$ uprav�me na maticu zodpovedaj�cu s�stave, ktor� m� t� ist� mno�inu $P$ v�etk�ch rie�en�, ale  je pomocou nej jednoduch�ie pop�sa� mno�inu $P$.

Nasleduj�ce �pravy matice $A$ nemenia mno�inu v�etk�ch rie�en� zodpovedaj�cej s�stavy, naz�vame ich element�rne riadkov� oper�cie (ERO).
\itemitem{ERO1} Vz�jomn� v�mena riadkov ($A_{i*} \leftrightarrow A_{j*}$, $i\ne j$), alebo stru�ne $R_i\leftrightarrow R_j$
\itemitem{ERO2} N�sobenie niektor�ho riadku matice $A$ nenulov�m ��slom  ($A_{i*}\to \alpha A_{i*}$, $\alpha\ne0$), stru�ne $\alpha R_i$
\itemitem{ERO3} Pri��tanie n�sobku niektor�ho riadka k in�mu riadku ($A_{i*}\to A_{i*}+\alpha A_{j*}$, $i\ne j$), stru�ne $R_i+\alpha R_j$.

\definition{Defin�cia} Prv� (z�ava) nenulov� prvok $a_{ij}$ v riadku $A_{i*}$ matice $A$ sa naz�va ved�ci prvok (pivot) riadku $A_{i*}$.
Matica $A$ sa naz�va stup�ovit�, ak plat�
\itemitem{1)} pivot  $i+1$-�ho riadka je v st�pci napravo od st�pca, v ktorom je pivot $i$-teho riadka (v st�pci pod ka�d�m pivotom s� iba nuly).
\itemitem{2)} ka�d� nulov� riadok  je pod ka�d�m nenulov�m riadkom matice $A$ (t.j. nulov� riadky s� premiestnen� do spodnej �asti matice).

$A$ sa naz�va redukovan� stup�ovit�, ak je stup�ovit� a navy�e v�etky jej pivoty sa rovnaj� 1 a aj nad nimi s� v st�pci len nuly.
\enddefinition

 
�ahko vidie�, �e pomocou ERO vznikne matica s�stavy so zhodnou mno�inou v�etk�ch rie�en�. Budem teda upravova� roz��ren� maticu danej s�stavy
na stup�ovit� alebo redukovan� stup�ovit�. D� sa tie� dok�za�, �e ka�d� matica $A$ typu $m\times n$ sa d� upravi� pomocou ERO na jednozna�ne ur�en� redukovan� stup�ovit� maticu $B$ typu $m\times n$, budeme p�sa� $A\sim B$ (matice $A, B$ s� riadkovo ekvivalentn�). Postup uk�eme na pr�klade s�stavy a jej roz��renej matice:
$$
\aligned
3x_1-2x_2+x_3&=11\\x_1+x_2-3x_3&=7\\11x_1-4x_2-3x_3&=10\endaligned \to A=\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\3&-2&1\\1&1&-3\\11&-4&-3\endmatrix
\right|\left.\matrix 11\\7\\10\endmatrix\right)\sim_{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\3&-2&1\\11&-4&-3\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\11\\10\endmatrix\right)
$$
Pivot 1. riadka je teraz ��slo $1$ (to sme mohli dosiahn�� aj n�soben�m $\frac13 \cdot R_1$, ale takto sa vyhneme zlomkom). Pomocou
ERO $R_2-3R_1$ a $R_3-11R_1$ dostaneme
$$
A\sim \left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&-15&30\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\-67\endmatrix\right)\sim_{R_3-3R_2}
\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\-37\endmatrix\right)=B
$$
$B$ je stup�ovit� matica, ktorej posledn� riadok zodpoved� rovnici $0x_1+0x_2+0x_3=-37$ a je zrejm�, �e nem� rie�enie, teda $P=\emptyset$.

Pri �prav�ch sme postupovali ``z�ava a zhora'' ``doprava a dole''. Na �pravu na redukovan� stup�ovit� maticu budeme maticu $B$  upravova�
od posledn�ho pivota vpravo dole nasp� v�avo hore.
$$
B\sim_{-\frac1{37}R_3}\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\1\endmatrix\right)\sim_{-\frac15R_2}
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\2\\1\endmatrix\right)
 \sim\Sb R_2-2R_3\\R_1-7R_3\endSb
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 0\\0\\1\endmatrix\right)\sim_{R_1-R_2}\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&0&-1\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 0\\0\\1\endmatrix\right)
$$
Posledn� matica je u� redukovan� stup�ovit�.

Ak by sme posledn� rovnicu vynechali jej roz��ren� matica sa pomocou ERO d� upravi� na
$$
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\2\endmatrix\right)\sim_{R_1-R_3}\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&0&-1\\0&1&-2\endmatrix
\right|\left.\matrix 5\\2\endmatrix\right)
$$
Teraz je �ahk� nap�sa� rie�enie (za nezn�mu zodpovedaj�ca st�pcu bez pivota zvol�me �ubovo�n� ��slo):
$$
x_3=a\in \Bbb R\,,\quad x_2-2a=2\implies x_2=2+2a\,,\quad x_1-a=5\implies x_1=5+a
\implies \underline{P=\{(5+a,2+2a,a)\; a\in\Bbb R\}}
$$

Pop�san� postup sa v pr�pade, �e �pravu matice ukon��me dosiahnut�m stup�ovitej matice, naz�va Gaussova elimina�n� met�da (GEM). Ak pokra�ujeme po z�skanie redukovanej stup�novitej matice, hovor�me o Gaussovej-Jordanovej elimina�nej met�de.

\example{Pr\'\i klad} Nap�te mno�inu $P$ v�etk�ch rie�en� s�stavy, ktorej roz��ren� matica je
$$
\text{a)}\qquad \left(\matrix 2&1&0&-1&3\\0&1&3&1&3\\0&0&0&-1&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1\\2\\1\endmatrix\right)\qquad
\text{b)}\qquad \left(\matrix 1&0&-3/2&0&-1\\0&1&3&0&4\\0&0&0&1&-1\endmatrix\right|\left.\matrix -5/2\\3\\-1\endmatrix\right)
$$
a)
$$
\left(\matrix 2&1&0&-1&3\\\vspace{2pt}0&1&3&1&3\\\vspace{2pt}0&0&0&-1&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1\\2\\1\endmatrix\right)\quad\rightarrow\quad
\aligned 2x_1+x_2-x_4+3x_5&=-1\\x_2+3x_3+x_4+3x_5&=2\\-x_4+x_5&=1\endaligned
$$
Za�neme od poslednej rovnice, v ktorj s� dve nezn�me jednu zvol�me �ubovo�ne, $\underline{x_5=a}\implies \underline{x_4=-1+a}$,\newline
dosad�me to do druhej rovnice: $x_2+3x_3+(-1+a)+3a=2$. Ak zvol�me $\underline{x_3=b}$, dostaneme\newline $x_2+3b-1+4a=2\implies \underline{x_2=3-4a-3b}$
\newline
nakoniec doteraz z�skan� v�sledky dosad�me do prvej rovnice: $2x_1+(3-4a-3b)-(-1+a)+3a=-1\iff 2x_1+4-2a-3b=-1\implies x_1=\frac12(-5+2a+3b)$
$\underline{x_1-\frac52+a+\frac32b}$, teda
$$
P=\left\{\left(\frac52+a+\frac32b,3-4a-3b,b,-1+a,a\right)\:a,b\in\Bbb R\right\}
$$
Poznamenajme, �e za vo�n� parametre $a,b$ sme zvolili tie nezn�me, ktor� zodpovedaj� st�pcom bez pivotov. Matica z pr�kladu b) je redukova� stup�novit�, na ktor� sme upravili prv� maticu. V tomto pr�pade m��eme mno�inu $P$ nap�sa� priamo z matice, lebo po zvolen� parametrov obsahuj� v�etky tri rovnice s�stavy u� len jednu nezn�mu.
\endexample
\definition{Defin�cia} Nech $A\in\Bbb  R^{m\times n}$ ($A\in\Bbb  C^{m\times n}$) a nech je $B$ stup�ovit� matica riadkovo ekvivalentn� s maticou $A$. Po�et nenulov�ch riadkov (pivotov) matice $B$ sa naz�va hodnos� matice $A$.
\enddefinition
\proclaim{Veta {\rm(Frob\'eniova)}} S�stava (S) line�rnych rovn�c m� (aspo� jedno) rie�enie vtedy a len vtedy, ke� sa hodnos� matice s�stavy (S) rovn� hodnosti roz��renej matice s�stavy (S).
\endproclaim
Pripojme e�te dve pozn�mky sspres�uj�ce Frob�niovu vetu.
\item{1.} Ak sa prav� strany v�etk�ch rovn�c s�stavy rovnaj� nule, tak sa naz�va homog�nna. Homog�nna s�stava m� v�dy rie�enie; bu� pr�ve jedno ($x_1=x_2=\dots x_n=0$) alebo nekone�ne ve�a.
\item{2.} Ak je v stup�ovitej matici $B\in\Bbb  R^{(n+1)\times m}$, ktor� je roz��renou maticou s�stavy s $n$ nezn�mymi $p$ pivotov,
tak na pop�sanie mno�iny $P$ v�etk�ch jej rie�en� potrebujeme $n-p$ vo�n�ch parametrov. Vo�n� parametre m��eme voli� za nezn�me zodpovdaj�ce st�pcom matice $B$, v ktor�ch  nie s� pivoty.


\head
3. Maticov\'a algebra a determinnty
\endhead

Najprv zavedieme pojem line�rnej z�vislosti a nez�vislosti

\subhead
3.1. Line\'arna z�vislos� a  nez�vislos�  v $\Bbb R^n$ a $\Bbb C^n$
\endsubhead

\defin Nech $\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\in\Bbb R^n$ a $\alpha_1,\alpha_2, \dots,\alpha_k\in\Bbb R$.
\item{1.} $\alpha_1\bold x_1+ \alpha_2\bold x_2+\dots+\alpha_k\bold x_k$ sa naz�va line�rna kombin�cia vektorov $\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k$.
\item{2.} Hovor�me, �e $k$-tica $\{\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\}$ je lin�rne nez�visl�, ak $\alpha_1\bold x_1+ \alpha_2\bold x_2+\dots+\alpha_k\bold x_k=\bold 0\implies \alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0$.
\item{3.} Ak nie je $k$-tica $\{\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\}$ line�rne nez�visl�, tak sa naz�va line�rne z�visl�.
\enddefinition
Podobne hovor�me o line�rnej kombin�cii, z�vislosti a nez�vislosti $k$-tice mat�c, polyn�mov alebo, v�eobecnj�ie, funkci�.

\subhead 3.2. s��et a s��in mat�c \endsubhead

Oper�cie s�ce budeme dfinova� pre matice s re�lnymi prvkami, ale rovnak� defin�cie a tvrdenia s� platn� aj pre komplexn� matice.
Najprv definujeme s��tanie mat�c rovnak�ho typu (je vlastne zhodn� so s��tan�m v $\Bbb R^{mn}$, resp. $\Bbb C^{mn}$):
\definition{S��et mat�c}  Nech $m,n\in N$,
$A=(a_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\in\Bbb  R^{m\times n}$,
$B=(b_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\in\Bbb  R^{m\times n}$.
Potom $A+B\in\Bbb  R^{m\times n}$ definujeme rovnos�ou $A+B=(a_{ij}+b_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb$
\enddefinition
\example{Pr\'\i klad}
$\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix+\pmatrix 1&1&0\\2&3&1\endpmatrix=\pmatrix 2&3&3\\4&3&2\endpmatrix$, ale
$\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix+\pmatrix 1&1\\2&3\endpmatrix$ nie je definovan�.
\endexample
Sk�r, ne� definujeme s��in mat�c zavedieme pojem  matice $A^{\top}$ transponovanej k matici $A$. $A^{\top}$ vznikne ,,preklopen�m'' matice $A$ okolo hlavnej diagon�ly, resp. z�menou �loh st�pcov a riadkov, napr.
$$
\pmatrix x_1&x_2&x_3\endpmatrix^{\top}=\pmatrix x_1\\ x_2\\x_3\endpmatrix,\;\; \pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\endpmatrix^{\top}=\pmatrix a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\endpmatrix
$$
V�eobecne, ak $A=(a_{ij})\in\Bbb  R^{m\times n}$, tak $A^{\top}=B=(b_{ji})\in\Bbb  R^{n\times m}$, pri�om $b_{ji}=a_{ij}$ pre v�etky
$i\in\{1,2,\dots,m\}$, $j\in\{1,2,\dots,n\}$.


\definition{S��in mat�c} Najprv definujeme s��in matice $A$ typu $m\times n$ a st�pca $x$ ($n\times1$):
$$
\text{pre }A=(a_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\,, x=(x_1,x_2,\dots, x_n)^{\top}\text{ definujeme }
Ax=x_1A_{*1}+x_2A_{*2}+\dots+x_nA_{*n}\,.
$$

Pomocou vz�ahu $x\mapsto Ax$ je tak definovan� jednozna�n� priradenie (zobrazenie) st�pca $Ax\in\Bbb R^{m\times 1}$ k st�pcu $x\in\Bbb R^{n\times 1}\!\!$,
napr.\,pre$\,A=\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix$, $x=\pmatrix -1\\1\\2\endpmatrix$ je
$Ax=-\pmatrix1\\2\endpmatrix+\pmatrix2\\0\endpmatrix+2\pmatrix3\\1\endpmatrix=
\pmatrix -1+2+6\\-2+0+2\endpmatrix=\pmatrix 5\\0\endpmatrix$
 
Ak namiesto jedn�ho st�pca $x$ zobereme maticu $B$ typu $n\times k$ a definujeme $AB$ tak, �e maticu $A$ n�sob�me sprava ka�d�m st�pcom matice $B$
a zo z�skan�ch st�pcov ,,posklad�me'' jednu maticu $AB=D=(d_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1 \le j\le k\endSb$.

Teda n�sob�me maticu $A\in R^{m\times n}$ sprava maticou $B\in R^{n\times k}$ a v�sledok je matica $D\in R^{m\times k}$ s prvkami
$d_{ij}=A_{i*}B_{*j}$ ($i$-ty riadok matice $A$ kr�t $j$-ty st�pec matice $B$). Ak sa po�et riadkov matice $A$ nerovn� po�tu st�pcov matice
$B$, tak nie je s��in $AB$ definovan�.
\enddefinition


\proclaim{Veta {\rm(vlastnosti s��tu a s��inu mat�c}}
\item{1)} Ak $A,B\in\Bbb R^{m\times n}$, $D\in\Bbb R^{n\times k}$, tak $(A+B)D=AD+BD$,
\item{2)} Ak $A,B\in\Bbb R^{m\times n}$, $D\in\Bbb R^{k\times m}$, tak $D(A+B)=DA+DB$,
\item{3)} Ak $A\in\Bbb R^{m\times n}$, $B\in\Bbb R^{n\times k}$, tak $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$.
\item{4)} N�sobenie mat�c nie je komutat�vne, t.j. nemus� plati� $AB=BA$ (ani ke� s� obe strany definovan�).
\endproclaim

\defin
Matice, ktor� maj� rovnak� po�et riadkov ako st�pcov sa naz�vaj� {\it �tvorcov�}. Hovor�me, �e prvky $a_{ii}$, $i=1,2,\dots n$ matice $A=(a_{ij})\in \Bbb R^{n\times n}$ tvoria {\it hlavn� diagon�lu} matice $A$. Matica $I_n\in\Bbb  R^{n\times n}$, ktor� m� v�etky ��sla na hlavnej diagon�le rovn� $1$ a ostatn� prvky nulov�, sa naz�va {\it jednotkov� matica}.
\enddefinition
 
Poznamenajme, �e $A\in\Bbb  R^{m\times n}$, tak $I_mA=AI_n=A$, to vysvet�uje n�zov jednotkov� matica.

Podobne pre �tvorcov� maticu $A\in\Bbb  R^{n\times n}$ definujeme inverzn� maticu ako $B\in\Bbb  R^{n\times n}$, pre ktor� $AB=I_n$. K danej matici $A$ existuje najviac jedna inverzn�, navy�e ak $AB=I_n$, tak aj $BA=I_n$.

\subhead
3.3. V�po�et inverznej matice
\endsubhead



Postup vysvetl�me na maticiach typu $3\times 3$, nech $A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix$,
h�ad�me maticu $B=\pmatrix x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \\x_3&y_3&z_3\endpmatrix$, pre ktor� plat�
$$
\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \\x_3&y_3&z_3\endpmatrix=
\pmatrix 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endpmatrix.
$$
Ak ozna��me $x,y,z$ prv�, druh� a tret� st�pec nezn�mej matice $B$, m�me vlastne rie�i� tri s�stavy rovn�c
$$
Ax=(1,0,0)^{\top},\quad Ay=(0,1,0)^{\top},\quad Az=(0,0,1)^{\top},
$$
ktor� maj� t� ist� maticu, ale r�zne prav� strany, t.j. r�zne roz��ren� matice. Tak�e maticu $A$ roz��rime o v�etky tri prav� strany a uprav�me na riadkovo ekvivalentn� redukovan� stup�ovit� maticu, jej hodnos� sa rovn� hodnosti pravej strany, t.j. $n$, teda bu� maj� v�etky tri s�stavy pr�ve jedno rie�enie, alebo aspo� jedna z nich nem� rie�enie a inverzn� matica neexistuje.  Maticu inverzn� k matici $A$ ozna�ujeme $A^{-1}$

\example{Pr\'\i klad.} N�jdite $A^{-1}$ pre $A=\pmatrix 1&-1&2\\1&-2&0\\0&1&1\endpmatrix$.
{\eightpoint$$\gather
\left(\matrix1&-1&2\\1&-2&0\\0&1&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right)\sim_{R_2-R_1}
\left(\matrix1&-1&2\\0&-1&-2\\0&1&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\endmatrix\right)\sim_{R_3+R_2}
\left(\matrix1&-1&2\\0&-1&-2\\0&0&-1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\-1&1&0\\-1&1&1\endmatrix\right)\sim\Sb-R_2\\-R_3\endSb\\
\left(\matrix1&-1&2\\0&1&2\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\1&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right)\sim\Sb R_2-2R_3\\R_1-2R_3\endSb
\left(\matrix1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1&2&2\\-1&1&2\\1&-1&-1\endmatrix\right)\sim_{R_1+R_2}
\left(\matrix1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix -2&3&4\\-1&1&2\\1&-1&-1\endmatrix\right)
\endgather
$$}
Teda upravili sme $\bigl(A\,|\,I_3\bigr)\sim \bigl(I_3\,|\,A^{-1}\bigr)$. Dostali sme $A^{-1}=\pmatrix -2&3&4\\-1&1&2\\1&-1&-1\endpmatrix$ (overte $AA^{-1}=A^{-1}A=I_3$).
\endexample

Uk�te, �e k matici $A=\pmatrix 1&2\\3&6\endpmatrix$ neexistuje inverzn� matica.



\proclaim {Veta} Nech $A\in R^{n\times n}$. Potom s� nasleduj�ce tvrdenia ekvivalentn�.
\itemitem{a)} existuje matica $A^{-1}$,
\itemitem{b)} $A$ m� hodnos� $n$,
\itemitem{c)} riadky matice $A$ s� line�rne nez�visl�,
\itemitem{d)} st�pce matice $A$ s� line�rne nez�visl�.
\endproclaim

\defin
�tvorcov� matica, ktor� m� inverzn� sa naz�va {\it regul�rna}.
\enddefinition


\subhead
3.4. Determinanty �tvorcov�ch  mat�c
\endsubhead
\smallskip

Determinant �tvorcovej matice $A$ je ��slo $\det A$, ur�en� nasleduj�cou (indukt�vnou) defin�c�ou.
\defin
Nech $A\in C^{n\times n}$, $n\in N$.
\item{1.} Ak $n=1$, $A=(a_{11})$, tak $\det A=a_{11}$
\item{2.} Ak $n>1$ ozna��me $A_{ij}$ maticu, ktor� vznikne z matice $A$ odstr�nen�m st�pca $A_{*j}$ a riadka $A_{i*}$.
\newline
$\det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+\dots+(-1)^{1+n}a_{1n}\det A_{1n}$ (rozvoj pod�a prv�ho riadku).
\enddefinition
Pod�a bodu 2) sa po��ta determinant, ak vieme po��ta� determinanty mat�c typu $(n-1)\times (n-1)$, teda


Ak $n=2$, $A=\pmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endpmatrix$, tak $\det A=a_{11}\det(a_{22})-a_{12}\det(a_{21})=
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$. Determinant ozna�ujeme aj ako maticu ohrani�en� kolm�mi �iarami namiesto z�tvoriek,
$\det A=\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endvmatrix$. Pre $n=2$ teda je determinant s��in ��sel na hlavnej diagon�le m�nus s��in ��sel na ved�aj�ej diagon�le.


Ak $n=3$. $\vmatrix  a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endvmatrix=a_{11}\vmatrix a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix-a_{12}\vmatrix a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix+a_{13}\vmatrix a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix=$\newline
$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=$\newline $(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})$
$-(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31})$.

Pre determinant matice $3\times 3$ sa d� sformulova� Sarusovo pravidlo. Prv� dva st�pce prip�eme za maticu ako �tvrt� a piaty st�pec a determinant je
s��et v�etk�ch troch s��inov na hlavn�ch diagon�lach (z�ava hore doprava dole) minus s��est s��inov na 3 ved�aj��ch diagon�lach.
$$\gather
\left|\matrix\format\c\;&\;\c\;&\;\c\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endmatrix\right|\matrix
\format\c\;&\;\c\\ a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endmatrix\\
 \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
\endgather
$$

Pre v��ie matice �iadne analogick� pravidlo neexistuje a najvhodnej�� je sp�sob v�po�tu pomocou ERO.


Najprv dfinujeme �al�ie �pecialne typy mat�c.
\definition{Defin\'\i cia} Matica $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ sa naz�va
\itemitem{(i)} doln� trojuholn�kov�, ak $j>i\implies a_{ij}=0$ (v�etky prvky nad hlavnou diagon�lov s� nulov�),
\itemitem{(ii)} horn� trojuholn�kov�, ak $j<i\implies a_{ij}=0$ (v�etky prvky pod hlavnou diagon�lov s� nulov�),
\itemitem{(iii)} trojuholn�kov�, ak je doln� alebo horn� trojuholn�kov�,
\itemitem{(iV)} diagon�lna, ak $j\ne i\implies a_{ij}=0$ (v�etky prvky mimo hlavnej diagon�ly s� nulov�).
\enddefinition
Vlastnosti determinantu zhrnieme v nasleduj�cej vete, ktorej d�kaz sa d� urobi� matematickou indukciou.



\proclaim{Veta} Nech $A\in\Bbb C^{n\times n}$. Potom plat�
\item{\rm1.}
$$\align
\forall\,i\in\{a,\dots,n\}\;\;\det A&=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}\quad(\text{rozvoj pod�a $i$-teho riadku})\,,\\
\forall\,j\in\{a,\dots,n\}\;\;\det A&=\sum_{i=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}\quad(\text{rozvoj pod�a $j$-teho st�pca})\,.
\endalign
$$
\item{\rm2.} Ak $B\sim A$ vznikla z matice $A$ pomocou {\rm ERO}
\itemitem{\rm2.1.} n�sobenia niektor�ho riadka ��slom $\alpha$, tak $\det B=\alpha\det A$,
\itemitem{\rm2.2.} vz�jomnou v�menou dvoch riadkov, tak $\det B=-\det A$,
\itemitem{\rm2.3.} pri��tan�m n�sobku niektor�ho riadka k in�mu riadku, tak $\det B=\det A$,
\item{\rm3.} $\det A^{\top}=\det A$
\endproclaim

\proclaim{D\^osledok}
\itemitem{\rm(i)} Determinant trojuholn�kovej matice sa rovn� s��inu jej prvkov na hlavnej diagon�le.
\itemitem{\rm(ii)} Ak m� matica $A$ dva rovnak� riadky alebo st�pce, tak $\det A=0$.
\itemitem{\rm(iii)} $A,B\in C^{n\times n}\implies \det(AB)=(\det A)(\det B)$.
\endproclaim
Prv� d�sledky sa pomocou predch�dzaj�cej vety daj� dok�za� jednoducho, d�kaz tvrdenia o determinante s��inu je podstatne
n�ro�nej��.

\subhead
3.5 V�oo�et inverznej matice pomocou determinantov a Cramerovo pravidlo
\endsubhead

Pre maticu $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ ozna��me $\tilde a_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}$. $\tilde a_{ij}$ sa naz�va algebraick� doplnok
prvku $a_{ij}$ v matici $A$, v�sti�nejie by bolo poveda� algebraick� doplnok poz�cie $(ij)$, lebo od hodnoty samotn�ho prvku $a_{ij}$ ani od ��sel v celom riadku $A_{i*}$ a st�pci $A_{*j}$ ��slo $\tilde a_{ij}$ nez�vis�.

Po��tajme teraz s��in mat�c
$$\gather
\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix \tilde a_{11}&\tilde a_{12}&\tilde a_{13}\\\tilde a_{21}&\tilde a_{22}&\tilde a_{23}\\\tilde a_{31}&\tilde a_{32}&a_{33}\endpmatrix^{\top}=\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix \tilde a_{11}&\tilde a_{21}&\tilde a_{31}\\\tilde a_{12}&\tilde a_{22}&\tilde a_{32}\\\tilde a_{13}&\tilde a_{23}&a_{33}\endpmatrix=\\\vspace{2pt}
=\pmatrix
(a_{11}\tilde a_{11}+a_{12}\tilde a_{12}+a_{13}\tilde a_{13})&
(a_{11}\tilde a_{21}+a_{12}\tilde a_{22}+a_{13}\tilde a_{23})&
(a_{11}\tilde a_{31}+a_{12}\tilde a_{32}+a_{13}\tilde a_{33})
\\
(a_{21}\tilde a_{11}+a_{22}\tilde a_{12}+a_{23}\tilde a_{13})&
(a_{21}\tilde a_{21}+a_{22}\tilde a_{22}+a_{23}\tilde a_{23})&
(a_{21}\tilde a_{31}+a_{22}\tilde a_{32}+a_{23}\tilde a_{33})
\\
(a_{31}\tilde a_{11}+a_{32}\tilde a_{12}+a_{33}\tilde a_{13})&
(a_{31}\tilde a_{21}+a_{32}\tilde a_{22}+a_{33}\tilde a_{23})&
(a_{31}\tilde a_{31}+a_{32}\tilde a_{32}+a_{33}\tilde a_{33})
\endpmatrix=\\\vspace{2pt}
=\pmatrix \det A&0&0\\0&\det A&0\\0&0&\det A\endpmatrix=(b_{ij})_{1\le i,j\le n}=(\det A)I_3\,.
\endgather
$$
��sla na hlavnej diagon�le $b_{11}=b_{22}=b_{33}=\det A$ s� rozvoje $\det A$ pod�a prv�ho, druh�ho a tretieho riadka.
Na ostatn�ch miestach s� rozvoje determinaantov mat�c, ktor� maj� dva rovnak� riadky, napr
$$
\text{rozvoj pod�a druh�ho riadka }\quad  0=\vmatrix
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endvmatrix=(a_{11}\tilde a_{21}+a_{12}\tilde a_{22}+a_{13}\tilde a_{23})=b_{12}
$$
(algebraick� doplnky druh�ho riadka posledn�ho determinantu s� rovnak� ako v matici $A$).
\newline
Ak je $\det A\ne 0$, tak z predch�dzaj�cich v�pot�ov vypl�va
$$
A^{-1}=\frac1{\det A}(\tilde a_{ij})^{\top}=\frac1{\det A}
\eightpoint{\pmatrix\format\r&\;\;\r\;\;&\r\\
 \vmatrix a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix&
\vmatrix a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\endvmatrix\\\vspace{4pt}
-\vmatrix a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix&
\vmatrix a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\endvmatrix\\\vspace{4pt}
\vmatrix a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix&
\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endvmatrix\endpmatrix}
.
$$
Pre matice typu $3\times3$ sme t�m dok�zali nasleduj�cu vetu, pre matice $n\times n$ sa d� dok�za� analogicky.
\proclaim{Veta} Nech $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ a nech $\operatorname{adj}A=(\tilde a_{ij})^{\top}$ (matica adjungovan� k matici $A$). Potom plat�
$$
A(\operatorname{adj}A)=(\det A) I_n\,.
$$
Ak, navy�e,   $\det A\ne 0$, tak
$$
A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A\,.
$$
\endproclaim
T�m je s��asne dok�zan� aj tvrdenie
 \proclaim{Veta} $A\in\Bbb C^{n\times n}$ je regul�rna vtedy a len vtedy, ke� $\det A\ne0$.
 \endproclaim
Priamym d�sledkom vz�ahu $A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A$ je
\proclaim{Cramerovo pravidlo}
Ak $A\in\Bbb C^{n\times n}$ je regul�rna matica a $\bold b\in\Bbb  C^{n\times 1}$, tak m� s�stava line�rnych rovn�c
$$
A\bold x=\bold b
$$
pr�ve jedno rie�enie $\bold x=\left(\frac{d_1}d,\frac{d_2}d,\dots,\frac{d_n}d\right)$, kde
$d=\det A$ a $d_j$ ($j=1,2,\dots n$)\newline je determinant matice, ktor� vznikne z matice $A$ z�menou st�pca $A_{*j}$ za $\bold b$ (prav� stranu).
\endproclaim

\enddocument


\newpage


Rozhodnite (a svoju odpove� od�vodnite), �i je pravdiv� tvrdenie

\item{T1.} [1+4] Ak $A=\pmatrix 1&0\\0&0\endpmatrix$ a $B\in R^{2\times 2}$, tak $AB=BA$?

\item{T2.} [2+2] Nech $f\:R\to R$ m� deriv�ciu $f'\:R\to R$ a $f(1)=0$, $f'(1)=2$ a nech $F(x)=e^{f(x)}$. Potom
plat� $F'(1)=2$.

\item{T3.} [1+4] Ak je funkcia $f\:R\to R$ v bode $a\in R$  spojit�, tak m� aj deriv�ciu v bode $a$

\item{T4.} [2+3] Nech s� $f\:R\to R$ aj $f'\:R\to R$ spojit� funkcie a $f'(2)=0$. Ak $x\ne 2\implies f'(x)\ne0$; $f'(0)=-1$, $f'(3)=3$ a $f(2)=4$, tak je obor hodn�t $H(f)\subset\langle 4,\infty)$.
\item{T4a.} [2+3] Nech s� $f\:R\to R$ aj $f'\:R\to R$ spojit� funkcie a $f'(2)=0$. Ak $x\ne 2\implies f'(x)\ne0$; $f'(0)=-1$, $f'(3)=3$ a $f(2)=4$, tak je funkcia $f$ na intervale $\langle 2,\infty)$ rast�ca.
\item{T5.} [3+2] Ak $q\in(-1,1)$, tak $\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n=\dfrac1{1-q}$.
\item{T6.} [1+3] Ak $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$, tak je rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergentn�.
\item{T7.} [1+3] $\operatorname{arctg}(-1)=\frac34\pi$.
\item{T7a.} [1+3] $\operatorname{arctg}(-1)=-\frac14\pi$.
\item{T8.} [1+4] Ak je pre $x_0\ne a$ ��seln� rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x_0-a)^n$ absol�tne konvergentn� a $|x-a|<|x_0-a|$ tak aj rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje absol�tne.

\enddocument


\head
\'Uvod
\endhead

Tieto skript\'a s\'u ur\v{c}en\'e pre \v{s}tudentov 1. ro\v{c}n\'{\i}ka bakal\'arskeho
\v{s}t\'udia. Na\v{s}im cie\v{l}om bolo vytvori\v{t} ucelen\'y text, ktor\'y
m\'a \v{s}tudentovi pom\^oc\v{t} pochopi\v{t} a spr\'avne pou\v{z}\'{\i}va\v{t} poznatky z\'{\i}skan\'e na
predn\'a\v{s}kach.  Predpoklad\'ame, \v{z}e \v{c}itate\v{l} pozn\'a aspo\v{n} z\'akladn\'e
mno\v{z}inov\'e oper\'acie (prienik, zjednotenie, rozdiel),
z\'aklady matematickej logiky (n\'ajde ich aj v skript\'ach Logick\'e
syst\'emy [\ ]). Samozrejmos\v{t}ou by malo by\v{t} ovl\'adanie stredo\v{s}kolskej
matematiky aspo\v{n} v rozsahu po\v{z}adovanom pre B \'urove\v{n} externej
maturitnej sk\'u\v{s}ky.

Budeme dodr\v{z}iava\v{t} zau\v{z}\'{\i}van\'u logick\'u v\'ystavbu matematiky, ktor\'u
tvoria:
\item{1.} {\bf Z\'akladn\'e pojmy} (napr. mno\v{z}ina, prvok mno\v{z}iny). Tieto
sa nedefinuj\'u, ust\'alili sa dlhoro\v{c}nou sk\'usenos\v{t}ou.
\item{2.} {\bf Defin\'{\i}cie} s\'u prostriedkom na zavedenie nov\'ych pojmov
pomocou doteraz zn\'amych. Napr\'{\i}klad:\newline
{\bf Defin\'{\i}cia.} Hovor\'{\i}me, \v{z}e prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$m$ je {\it delite\v{l}om} prirodzen\'eho \v{c}\'{\i}sla $n$, ak existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$k$, pre ktor\'e $n=km$.\newline
Nov\'ym pojmom je tu {\it delite\v{l}}, ostatn\'e pojmy v tejto defin\'{\i}cii
by mali by\v{t} jej \v{c}itate\v{l}ovi u\v{z} zn\'ame. Ak teraz vyberieme dve
prirodzen\'e \v{c}\'{\i}sla, napr. $m=3$, $n=5$, vieme pomocou defin\'{\i}cie
rozhodn\'u\v{t}, \v{z}e $3$ nie je delite\v{l}om \v{c}\'{\i}sla $5$.
\item{3.} {\bf Ust\'alen\'e ozna\v{c}enia}. Defin\'{\i}ciu m\^o\v{z}eme doplni\v{t} skratkou,
ktorou definovan\'u vlastnos\v{t} budeme v \v{d}al\v{s}om texte
ozna\v{c}ova\v{t}:\newline
Fakt, \v{z}e $m$ je delite\v{l}om \v{c}\'{\i}sla $n$ budeme skr\'atene ozna\v{c}ova\v{t}
$m|n$.
\item{3.} {\bf Veta.}  Poznatky matematiky sa formuluj\'u do
pravdiv\'ych v\'yrokov, ktor\'e sa naz\'yvaj\'u vety (matematick\'a ,,veta''
v\"a\v{c}\v{s}inou pozost\'ava z viacer\'ych gramatick\'ych viet). Vety sa v\v{z}dy
skladaj\'u z predpokladov a z tvrdenia, ktor\'e pri splnen\'{\i}
predpokladov plat\'{\i}. Ako pr\'{\i}klad
uvedieme zn\'ame tvrdenie:\newline
{\bf Veta.} $\undersetbrace\text{predpoklady}\to
{\text{Nech $m$ je prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo. Ak
$6|m$, tak aj}}$
$\undersetbrace\text{tvrdenie}\to {3|m}$.
\item{4.} {\bf D\^okaz.} Je overenie pravdivosti vety pomocou
zn\'amych tvrden\'{\i} a pravidiel matematickej logiky. Predch\'adzaj\'ucu
vetu m\^o\v{z}eme jednoducho dok\'aza\v{t}:\newline
Pod\v{l}a defin\'{\i}cie $6|m$ znamen\'a, \v{z}e existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$k$, pre ktor\'e $m=6k$. Potom $m=6k=2\cdot3k=3(2k)$. Uk\'azali sme
teda, \v{z}e existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo $k_1=2k$, pre ktor\'e
$m=3k_1$, t.j. $3|m$.


D\^okazy budeme \v{c}asto vynech\'ava\v{t} alebo uv\'adza\v{t} len ich n\'aznaky.
Nov\'e pojmy a tvrdenia ilustrujeme na rie\v{s}en\'ych pr\'{\i}kladoch
a ku ka\v{z}dej kapitole uv\'adzame aj nerie\v{s}en\'e \'ulohy.


{\8 tu by mal nasledova\v{t} zoznam najpou\v{z}\'{\i}vanej\v{s}\'{\i}ch ozna\v{c}en\'{\i}}



