Lineárna algebra 2

2025/2026 zimný semester

pre študijný program Aplikovaná informatika
Kód predmetu v MS Teams: dcp91cv

Informačný list

info2024.pdf

Garant predmetu

Vyučujúci

V prípade akýchkoľvek problémov, otázok a nejasností sa obracajte predovšetkým na prednášajúcich!

Rozvrh

Deň

Od

Do

Miestnosť

Krúžok

Vyučujúci

pondelok

17:00

19:00

ab300

API

Karabáš/Šiagiová

utorok

13:00

15:00

e702

3bc_API

Katarína Hriňáková

utorok

15:00

17:00

e702

2bc_API

Katarína Hriňáková

Konzultácie

Konzultácie k prednáškam:

Konzultácie k cvičeniam:

Prehľad tém

  1. Celé čísla (Aluffi, kapitola 1; Rotman, sekcie 1.1,1.3,1.4; Gallian kapitola 1)
    prirodzené čísla; celé čísla; dobré usporiadanie; deliteľnosť; induktívne myslenie; princíp najmenšieho svedka; matematická indukcia; celočíselné delenie; najväčší spoločný deliteľ celých čísel; súdeliteľnosť; prvočísla; rozklad čísla na nerozložiteľné činitele; hľadanie prvočísel; Bézoutova rovnosť; rozšírený Euklidov algoritmus; základná veta aritmetiky; najmenší spoločný násobok celých čísel.

  2. Kongruencie (Aluffi, kapitola 2; Rotman, sekcie 1.5, 1.2)
    kongruencie; rozklad množiny celých čísel modulo $m$; binárne operácie modulo $m$; aplikácia - ISBN; lineárne kongruencie; riešenie kongruencií; aplikácia - samoopravný kód; čínska zvyšková veta; invertibilné čísla modulo $m$, Eulerova $\varphi$-funkcia; malá Fermatova veta; Fermatov test na zložené čísla; modulárne umocňovanie; problém diskrétneho logaritmu; aplikácia - Diffie-Hellmannova schéma.

  3. Okruhy a polia (Aluffi, kapitoly 3 a 4)
    okruh; jednoznačnosť neutrálnych prvkov; negatívny prvok; všeobecný asociatívny zákon; aditívny rád prvku, charakteristika okruhu; komutatívne okruhy; delitele nuly; obor integrity; invertibilné a inverzné prvky, mocnina prvku; pole; pramy súčin okruhov; podokruh; homomorfizmus okruhov, izomorfizmus.
    Pozor! Definícia okruhu sa v tejto prednáške mierne odlišuje od definície, ktorá je uvádzaná v literatúre. Podľa niektorých kníh (napr. Katriňák) je náš okruh zavedený ako 'okruh s jednotkou'. Tento rozdel spôsobuje malé rozdiely v argumentácii. Napríklad, nevýhodou nšej definície je, že musíme ošetriť špeciálne triviálny okruh a napríklad množina m$\mathbf{Z}$ u nás okruhom nie je. Výhodou je, že dôkazy tvrdení sú u nás kratšie, keďže máme 'silnejšiu aritmetiku'.

  4. Faktorové okruhy (Aluffi, sekcie 5.1-5.5)
    dekompozícia zobrazenia, kanonická dekompozícia; jadro homomorfizmu; ideál v okruhu, generátory ideálu, hlavný ideál; kongruencia podľa ideálu, kvocient okruhu, faktorový okruh; kanonická dekompozícia homomorfizmu; prvá veta o izomorfizme. okruhov, komplexné čísla (definícia)

  5. Ideály a okruhy, okruhy s delením (Aluffi, sekcie 5.6,5.7, kapitola 6)
    Operácie s ideálmi v okruhu; druhá veta o homomorfizme okruhov, čínska zvyšková veta; tretia veta o homomorfizme; primitívny ideál v okruhu, maximálny ideál v okruhu; deliteľnost v okruhu, najväčší spoločný deliteľ; primitívne a ireducibilné prvky v okruhu; Euklidovské okruhy; okruhy hlavných ideálov (PID); Noetheorovské okruhy; fundamentálna veta aritmetiky, Gaussovské okruhy.

  6. Okruhy polynómov (Aluffi, kapitola 7)
    polynómy, okruhy polynómov; delenie polynómov so zvyškom; konečné okruhy; konečné vektorové priestory; rozklad polynómu na ireducibilné činitele; fundamentálna veta algebry; ireducibilné polynómy v $\mathbf{R}[x]$; ireducibilita v $\mathbf{Q}[x]$ a $\mathbf{Z}[x]$, Gaussova lema; $\mathbf{Z}[x]$ je PID, rozklad polynómu na ireducibilné činitele v $\mathbf{Z}[x]$, Gaussov test ireducibility v $\mathbf{Q}[x]$.

  7. Lineárne zobrazenie

  8. Vlastné číslo matice, vlastný vektor matice, charakteristický polynóm matice, ortogonálna podobnosť matíc

  9. Polynómy s maticovými premennými

  10. Jordanov kanonický tvar matice

  11. Geometria a transformácie n-rozmerného euklidovského priestoru

  12. Bilineárne a kvadratické formy a ich aplikácie, metóda najmenších štvorcov

Doporučená a použitá literatúra

  1. P. Aluffi, Algebra: Notes from underground, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2021.

  2. T. Katriňák, M. Gavalec, E. Gedeonová, J. Smítal: Algebra a teoretická aritmetika 1, Alfa, Bratislava, 1985 & Univerzita Komenského, Bratislava, 1995 & Univerzita Komenského, Bratislava, 1999.

  3. J. J. Rotman, A first course in abstract algebra, 3rd. ed., Prentice Hall, NY, 2005.
  4. P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, Albert Marenčin PT, Bratislava, 2011.

    http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/zlatos_LAG.pdf (kniha)
    http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf (A4)

  5. J. Gallian, Contemporary abstract algebra, 9th ed.,Centgage Learning, Boston, MA,2013.
  6. J. Guričan: Vybrané kapitoly z algebry.

    http://thales.doa.fmph.uniba.sk/gurican/vka/vka2014_09_24.pdf

  7. Š. Schwarz: Základy náuky o riešení rovníc, SAV, Bratislava, 1968.
  8. J. Galanová, J. Gatial, P., Kaprálik: Lineárna algebra, STU, Bratislava, 2002.
  9. M. Zajac: Príklady Lineárna algebra 2.

    prikladyLA2.ps, prikladyLA2.pdf (7.4.2021)

  10. M. Zajac: Zbierka úloh Lineárna algebra 2.

    zbierkauloh.ps, zbierkauloh.pdf
    jordanovtvar.ps, jordanovtvar.pdf

  11. M. Zajac: Prednášky Lineárna algebra 2.

    prednaska1.ps, prednaska1.pdf (27.4.2020)
    prednaska1a.ps, prednaska1a.pdf (13.3.2020)
    https://xpopikt-didactic-application.herokuapp.com/
    predn2.ps, predn2.pdf (27.4.2020)
    predn3.ps, predn3.pdf (5.6.2020)

Hodnotenie

Časti hodnotenia

Obsah

Bodovanie

Pravidlá bodovania

Úspešnosť požadovaná na absolvovanie predmetu:

Váha pri výpočte známky

Známka - body z intervalu [0;100+bonus]:

Neúčasť/neúspešnosť na priebežnom hodnotení

Neúčasť/neúspešnosť na skúške

Priebeh priebežného hodnotenia a skúšky

Ak niekto potrebuje pri Priebežnom hodnotení a Skúške špeciálne podmienky, napríklad zo zdravotných dôvodov, prosím, napíšte mi e-mail na jan.karabas@stuba.sk .

Na stole na viditeľnom mieste treba mať:

Okrem toho môže byť na stole iba (nedodržanie má za následok hodnotenie Fx):

Smie sa používať:

Nesmie používať a nesmie byť v dosahu (nedodržanie má za následok hodnotenie Fx):

Ďalšie pokyny:

Pozor

Základným zdrojom pre Lineárnu algebru 2 sú prednášky, cvičenia a odporúčaná literatúra. Videá, texty a online materiály sú iba doplnkový zdroj, nie je garantované, že obsahujú všetko a vo vhodnej forme, čo bude požadované pri priebežnom hodnotení a na skúške.

Staršia verzia prednášky

  1. Pole $(\mathcal{Z}_p,\oplus_p,\odot_p)$
    prednáška text: prednaska1.pdf, strany 1, 5 - 7, 13
    prednáška video: https://youtu.be/RYShvddtXx0 a https://youtu.be/UuxRy0ySiI8
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 2, príklady 1 - 5, 7 - 8, týždeň 3, príklad 6, časti b - d, týždeň 4, príklady 1 - 2, 5
    cvičenie video: https://youtu.be/WTn10sOhL88 a https://youtu.be/E1u89_4PAz4
    rozdiely: tabuľka pre rozšírený Euklidov algoritmus má 4 stĺpce, pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa nemôže vynechávať ani nulový riadok, pri riešení sústavy lineárnych rovníc sa matica upravuje do redukovaného stupňovitého tvaru, riešenie sústavy lineárnych rovníc sa zapisuje do stĺpca

  2. Pole $(\mathcal{Z}_p[x],\oplus_p,\odot_p)/_{(p(x))}$
    prednáška text: prednaska1.pdf, strany 8 - 10
    prednáška video: https://youtu.be/z94noc6YFAk a https://youtu.be/Hz4GsqVIaao a https://youtu.be/UuxRy0ySiI8
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 2, príklady 6, časť b, 9 - 10, týždeň 3, príklady 1 - 5
    cvičenie video: https://youtu.be/bwksRJg8mCc a https://youtu.be/RGep5pY-72M a https://youtu.be/E1u89_4PAz4
    rozdiely: množina všetkých polynómov nad $\mathcal{R}$ v neurčitej $x$ je označená $\mathcal{R}[x]$, tabuľka pre rozšírený Euklidov algoritmus má 4 stĺpce

  3. Pole $(\mathcal{C},+,\cdot)$
    prednáška text: prednaska1.pdf, strany 1 - 5
    prednáška video: https://youtu.be/Ja7oYlKlIwU a https://youtu.be/8kZk1FA82gE a https://youtu.be/saXHS6yLwms
    cvicenie text: priklady1.pdf, kapitola 5
    cvicenie video: N/A
    rozdiely:

  4. Sústava lineárnych rovníc nad okruhom $(\mathcal{Z},+,\cdot)$
    prednáška text: prednaska1a.pdf
    prednáška video: https://youtu.be/UuxRy0ySiI8 a https://youtu.be/zlVjszq8HRA
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 4, príklad 3
    cvičenie video: https://youtu.be/tIivbL7qnJk
    rozdiely: pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa nemôže vynechávať ani nulový riadok, riešenie sústavy lineárnych rovníc sa zapisuje do stĺpca, Hermitov tvar matice nemusí spĺňať hodnosť matice = počet riadkov < počet stĺpcov, pred-Smithov tvar matice, Smithov kanonický tvar matice

  5. Lineárne zobrazenie
    prednáška text: prednaska1.pdf, strany 21 - 24
    prednáška video: https://youtu.be/GQ3zfpvBz0Q
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 6, príklady 1, 3, týždeň 7, príklady 1 - 2
    cvičenie video: https://youtu.be/KcCSe5xBCrg
    rozdiely: lineárne zobrazenie sa nazýva lineárne zobrazenie, obraz $V$ v lineárnom zobrazení $L\colon V\to W$ sa označuje $Im(L)$, vektor sa zapisuje do stĺpca, matica lineárneho zobrazenia $L\colon V\to W$ s bázou $\mathcal{B}_V$ vo $(V,+,\cdot)$ a bázou $\mathcal{B}_W$ vo $(W,+,\cdot)$ sa označuje $A_{L,\mathcal{B}_W\mathcal{B}_V}$

  6. Podobnosť matíc, vlastné číslo matice, vlastný vektor matice, charakteristický polynóm matice
    prednáška text: predn2.pdf, strany 4, 6 - 7
    prednáška video: https://youtu.be/UvOFYLZBv0k a https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 7, príklady 1, 3, týždeň 8, príklady 1 - 2
    cvičenie video: https://youtu.be/upuCd9MzF48 a https://youtu.be/aHUYI63EmKw
    rozdiely: vektor sa zapisuje do stĺpca, charakteristický polynóm matice $A$ môže byť aj $|x\cdot I-A|$, pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa nemôže vynechávať ani nulový riadok

  7. Jordanov kanonický tvar matice
    prednáška text: predn2.pdf, strany 7 - 10
    prednáška video: https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc a https://youtu.be/Y0iPM9DxAGI
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 8, príklad 4, týždeň 9, príklad 1
    cvičenie video: https://youtu.be/aHUYI63EmKw a https://youtu.be/HjO8QYFyDcM
    rozdiely: Jordanov blok má $1$ nad diagonálou, do matice prechodu od novej bázy zo zovšeobecnených vlastných vektorov k starej báze sa reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov $v_1\leftarrow v_2\leftarrow v_3\leftarrow\cdots\leftarrow v_k$ zapisuje zľava od vlasného vektoru aka $1$-zovšeobecneného vlastného vektoru $v_1$ doprava po $k$-zovšeobecnený vlasný vektor $v_k$

  8. Minimálny polynóm matice, minimálny polynóm vektoru vzhľadom na maticu, matica pridružená k polynómu
    prednáška text: predn2.pdf, strany 1 - 3
    prednáška video: https://youtu.be/UvOFYLZBv0k a https://youtu.be/Y0iPM9DxAGI a https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 7, príklady 5 - 8, týždeň 8, príklad 3
    cvičenie video: https://youtu.be/upuCd9MzF48 a https://youtu.be/aHUYI63EmKw
    rozdiely: matica pridružená k polynómu $f(x)$ stupňa $n$ má $1$ nad diagonálou a koeficienty normovaného polynómu asociovaného s $f(x)$ okrem vedúceho v stĺpci $1$ pričom v riadku $1$ je koeficient pri $x^{n-1}$ a v riadku $n$ je koeficient pri $x^0$

  9. Metóda najmenších štvorcov, ortonormálna matica, ortonormálna podobnosť matíc
    prednáška text: predn3.pdf, strany 1 - 5
    prednáška video: https://youtu.be/mrI6qAWy0iI
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 10, príklady 1 - 4, týždeň 11 - 12, príklad 1
    cvičenie video: https://youtu.be/yN9iUoRFIeM
    rozdiely: vektor sa zapisuje do stĺpca, neznáme koeficienty aproximačného polynómu zodpovedajú stĺpcom matice príslušnej sútavy lineárncyh rovníc v poradí zľava doprava $f_0$, $f_1$, $f_2$, ..., $f_n$

  10. Zhodné zobrazenie v $(\mathcal{R}^2,+,\cdot)$, zhodné zobrazenie v $(\mathcal{R}^3,+,\cdot)$
    prednáška text:
    prednáška video: https://youtu.be/rfHMNLuqudM
    cvičenie text: prikladyLA2.pdf, týždeň 11 - 12, príklady 2 - 4
    cvičenie video: https://youtu.be/gzbHSHVUU-E
    rozdiely: vektor sa zapisuje do stĺpca

LinAlgeLinearneProgramovanie (last edited 2025-09-11 08:47:41 by JanKarabas)