## Poznámky vyzerajú tak, ako tento riadok.
## Toto je šablóna stránky, ktorá je vhodná, ak je len jeden prednášajúci.

= Lineárna algebra 2 =

'''2024/2025 letný semester'''

pre študijný program Aplikovaná informatika
<<BR>>Kód predmetu v MS Teams: '''dcp91cv'''



=== Informačný list ===
[[attachment:info2024.pdf]]

=== Vyučujúci ===
 * [[Pracovnici|doc. Mgr. Ján Karabáš, PhD.]], prednášky (1-6)
 * doc. RNDr. Jana Šiagiová, PhD., prednášky (7-12)
 * [[Pracovnici|Mgr. Katarína Hriňáková, PhD.]], cvičenia
 * [[Pracovnici|Mgr. Jana Valigurská]], cvičenia

=== Rozvrh ===
||'''Deň'''||'''Od'''||'''Do'''||'''Miestnosť'''||'''Krúžok'''||'''Vyučujúci'''||
||pondelok||15:00||17:00||cd300||API||Karabáš/Šiagiová||
||utorok||8:00||10:00||de35||3bc_API||Jana Valigurská||
||utorok||10:00||12:00||de35||3bc_API||Jana Valigurská||
||utorok||13:00||15:00||de35||3bc_API||Jana Valigurská||
||štvrtok||13:00||15:00||de150||2bc_API||Katarína Hriňáková||
||štvrtok||15:00||17:00||de150||2bc_API||Katarína Hriňáková||
||piatok||10:00||12:00||de150||2bc_API||Katarína Hriňáková||

=== Konzultácie ===

Konzultácie k prednáškam:
 * podľa individuálnej dohody s prednášajúcim,
 * J. Karabáš: A411, utorok 9:00-11:00, streda 9:00-11:00
 * MS Teams
Konzultácie k cvičeniam:
 * podľa individuálnej dohody s konkrétnym cvičiacim
 * MS Teams

##=== MSTeams ===
##Kód predmetu v MS Teams: dcp91cv

=== Predbežný zoznam tém ===

 1. Vlastnosti celých čísel, deliteľnosť, prvočísla
 1. Kongurencie 
 1. Okruhy a polia, <<latex($(\mathbf{Z},+,\cdot)$)>>, <<latex($(\mathbf{Z}_n,+,\cdot)$)>>, <<latex($(\mathbf{Z}_p,+,\cdot)$)>>
 1. Konečné polia 
 1. Pole komplexných čísel
 1. Sústava lineárnych rovníc nad <<latex($\mathbf{Z}$)>>, Smithova normálna forma matice 
 1. Lineárne zobrazenie
 1. Vlastné číslo matice, vlastný vektor matice, charakteristický polynóm matice, ortogonálna podobnosť matíc
 1. Polynómy s maticovými premennými
 1. Jordanov kanonický tvar matice
 1. Geometria a transformácie n-rozmerného euklidovského priestoru
 1. Bilineárne a kvadratické formy a ich aplikácie, metóda najmenších štvorcov 


=== Prehľad odprednášaných tém ===
 1. '''Celé čísla''' (Rotman, sekcie 1.1,1.3,1.4; Gallian kapitola 1; Aluffi, kapitola 1 slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''')  <<BR>> prirodzené čísla; celé čísla; dobré usporiadanie; deliteľnosť; induktívne myslenie; princíp najmenšieho svedka; matematická indukcia; celočíselné delenie; najväčší spoločný deliteľ celých čísel; súdeliteľnosť; prvočísla; rozklad čísla na nerozložiteľné činitele; hľadanie prvočísel; Bézoutova rovnosť; rozšírený Euklidov algoritmus; základná veta aritmetiky; najmenší spoločný násobok celých čísel.
 1. '''Kongruencie''' (Rotman, sekcie 1.5, 1.2, Aluffi, kapitola 2 slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''') <<BR>> kongruencie; rozklad množiny celých čísel modulo <<latex($m$)>>; binárne operácie modulo <<latex($m$)>>; aplikácia - ISBN; lineárne kongruencie; riešenie kongruencií; aplikácia - samoopravný kód; čínska zvyšková veta; invertibilné čísla modulo <<latex($m$)>>, Eulerova <<latex($\varphi$)>>-funkcia; malá Fermatova veta; Fermatov test na zložené čísla; modulárne umocňovanie; problém diskrétneho logaritmu; aplikácia - Diffie-Hellmannova schéma.
 1. '''Okruhy a polia''' (Aluffi, kapitoly 3 a 4 slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''') <<BR>> okruh; jednoznačnosť neutrálnych prvkov; negatívny prvok; všeobecný asociatívny zákon; aditívny rád prvku, charakteristika okruhu; komutatívne okruhy; delitele nuly; obor integrity; invertibilné a inverzné prvky, mocnina prvku; pole; pramy súčin okruhov; podokruh; homomorfizmus okruhov, izomorfizmus. <<BR>> '''Pozor! Definícia okruhu sa v tejto prednáške mierne odlišuje od definície, ktorá je uvádzaná v literatúre. Podľa niektorých kníh (napr. Katriňák) je náš okruh zavedený ako 'okruh s jednotkou'. Tento rozdel spôsobuje malé rozdiely v argumentácii. Napríklad, nevýhodou nšej definície je, že musíme ošetriť špeciálne triviálny okruh a napríklad množina  <<latex(m$\mathbf{Z}$)>> u nás okruhom nie je. Výhodou je, že dôkazy tvrdení sú u nás kratšie, keďže máme 'silnejšiu aritmetiku'.'''
 1. '''Faktorové okruhy''' (Aluffi, sekcie 5.1-5.5, slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''') <<BR>> dekompozícia zobrazenia, kanonická dekompozícia; jadro homomorfizmu; ideál v okruhu, generátory ideálu, hlavný ideál; kongruencia podľa ideálu, kvocient okruhu, faktorový okruh; kanonická dekompozícia homomorfizmu; prvá veta o izomorfizme. okruhov, komplexné čísla (definícia)
 1. '''Ideály a okruhy, okruhy s delením''' (Aluffi, sekcie 5.6,5.7, kapitola 6 slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''') <<BR>> Operácie s ideálmi v okruhu; druhá veta o homomorfizme okruhov, čínska zvyšková veta; tretia veta o homomorfizme; primitívny ideál v okruhu, maximálny ideál v okruhu; deliteľnost v okruhu, najväčší spoločný deliteľ; primitívne a ireducibilné prvky v okruhu; Euklidovské okruhy; okruhy hlavných ideálov (PID); Noetheorovské okruhy; fundamentálna veta aritmetiky, Gaussovské okruhy.
 1. '''Okruhy polynómov''' (Aluffi, kapitola 7 slajdy: '''dokumentový server AIS, predmet LA2''') <<BR>> polynómy, okruhy polynómov; delenie polynómov so zvyškom; konečné okruhy; konečné vektorové priestory; rozklad polynómu na ireducibilné činitele; fundamentálna veta algebry; ireducibilné polynómy v <<latex($\mathbf{R}[x]$)>>; ireducibilita v <<latex($\mathbf{Q}[x]$)>> a <<latex($\mathbf{Z}[x]$)>>, Gaussova lema; <<latex($\mathbf{Z}[x]$)>> je PID, rozklad polynómu na ireducibilné činitele v <<latex($\mathbf{Z}[x]$)>>, Gaussov test ireducibility v <<latex($\mathbf{Q}[x]$)>>.

=== Slajdy, chyby a extra body ===
'''(JK)''' Rozhodol som sa zverejniť slajdy zo svojich prednášok (1-6), hlavne kvôli tomu, že odporúčaná literatúra aj hlavné použité zdroje sú v anglickom jazyku. Aby som vám štúdium uľahčil, podávam '''veľmi zúžený''' slovenský preklad, aby ste sa mohli aspoň 'chytiť'. Naďalej však platí, že '''iba štúdium slajdov je nedostatočné''' pre získanie potrebných vedomostí a zručností na priebežné písomky a skúšku. Na druhej strane, ponúkam malý bonus pre čitateľov: Prvý študent/študentka, ktorý nájde ''matematicky relevantnú chybu'' alebo ''nedostatok matematického charakteru'' v slajdoch 1-6 získa k skúške 1 bod (platný na všetkých termínoch). Každý študent môže nahlasovať chyby počas celého semestra mne (mailom, cez Teams) a ja udelím body po zvážení. Každý študent môže takto získať '''najviac 5 bodov'''.

=== Doporučená a použitá literatúra ===
 1. P. Aluffi, Algebra: Notes from underground, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2021.
 1. T. Katriňák, M. Gavalec, E. Gedeonová, J. Smítal: Algebra a teoretická aritmetika 1, Alfa, Bratislava, 1985 & Univerzita Komenského, Bratislava, 1995 & Univerzita Komenského, Bratislava, 1999.
 1. J. J. Rotman, A first course in abstract algebra, 3rd. ed., Prentice Hall, NY, 2005.  
 1. P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, Albert Marenčin PT, Bratislava, 2011.
 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/zlatos_LAG.pdf (kniha)<<BR>>
 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf (A4)<<BR>>
 1.  J. Gallian, Contemporary abstract algebra, 9th ed.,Centgage Learning, Boston, MA,2013.
 1. J. Guričan: Vybrané kapitoly z algebry.
 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/gurican/vka/vka2014_09_24.pdf <<BR>>
 1. Š. Schwarz: Základy náuky o riešení rovníc, SAV, Bratislava, 1968.
 1. J. Galanová, J. Gatial, P., Kaprálik: Lineárna algebra, STU, Bratislava, 2002.
 1. M. Zajac: Príklady Lineárna algebra 2.
 [[attachment:prikladyLA2.ps]], [[attachment:prikladyLA2.pdf]] (7.4.2021)
 1. M. Zajac: Zbierka úloh Lineárna algebra 2.
 [[attachment:zbierkauloh.ps]], [[attachment:zbierkauloh.pdf]]<<BR>>
 [[attachment:jordanovtvar.ps]], [[attachment:jordanovtvar.pdf]]<<BR>>
 1. M. Zajac: Prednášky Lineárna algebra 2.
 [[attachment:prednaska1.ps]], [[attachment:prednaska1.pdf]] (27.4.2020)<<BR>>
 [[attachment:prednaska1a.ps]], [[attachment:prednaska1a.pdf]] (13.3.2020)<<BR>>
 https://xpopikt-didactic-application.herokuapp.com/ <<BR>>
 [[attachment:predn2.ps]], [[attachment:predn2.pdf]] (27.4.2020)<<BR>>
 [[attachment:predn3.ps]], [[attachment:predn3.pdf]] (5.6.2020)<<BR>>

=== Hodnotenie ===
'''Časti hodnotenia'''
 * Priebežné hodnotenie
  * Písomka 1 ('''1.4.2025, 19:00''', 45 minút)
  * Písomka 2 ('''12.5.2025, 18:00''', 45 minút)
  * Náhradná písomka ('''19.5.2025, 14:00, ab150''')
 * Skúška:
  * Príklady (120 minút)
'''Obsah'''
 * Priebežné hodnotenie:
  * Písomka 1: 2 príklady z okruhov 1 - 6
  * Písomka 2: 2 príklady z okruhov 7 - 12
 * Skúška:
   * 3 príklady z okruhov 1 - 6
   * 3 príklady z okruhov 7 - 12
   * 1 bonusový príklad na Riadnom termine
'''Bodovanie'''
 * Priebežné hodnotenie:
  * Písomka 1 - 2: Za každý príklad sa dá získať '''5 bodov'''
 * Skúška:
   * Príklady: za '''6''' príkladov možno získať najviac '''80 bodov''', hodnota každého príkladu je vyznačená v zadaní skúšky
   * Bonusový príklad: za bonusový príklad sa dá získať '''15 bodov'''
'''Pravidlá bodovania'''
 * Priebežné hodnotenie:
  * '''súčasťou správneho riešenia je správny a kompletný postup''', ak sú v riešení chyby, body sa udeľujú za časti, ktoré nie sú chybami ovplyvnené. Pri použití postupu, ktorý sa ''nepreberá v rámci predmetu'', ho treba '''v riešení dostatočne exaktne zdôvodniť''', inak za takýto postup nemusia byť udelené body. Za zdôvodnenie sa považuje napríklad referencia na všeobecne známe platné tvrdenia a dôkaz, že tento postup z nich vyplýva.
 * Skúška:
  * Príklady: ''''súčasťou správneho riešenia je správny a kompletný postup''', ak sú v riešení chyby, body sa udeľujú za časti, ktoré nie sú chybami ovplyvnené. Pri použití postupu, ktorý sa ''nepreberá v rámci predmetu'', ho treba '''v riešení dostatočne exaktne zdôvodniť''', inak za takýto postup nemusia byť udelené body. Za zdôvodnenie sa považuje napríklad referencia na všeobecne známe platné tvrdenia a dôkaz, že tento postup z nich vyplýva.
  * Bonusový príklad: '''súčasťou správneho riešenia je správny postup a správne zdôvodnenie''', ak sú v riešení chyby alebo nie je správne zdôvodnené, body sa udeľujú iba za časti, ktoré nie sú ovplyvnené chybami a sú správne zdôvodnené. Pri použití postupu, ktorý sa ''nepreberá v rámci predmetu'', ho treba '''v riešení dostatočne exaktne zdôvodniť''', inak za takýto postup nemusia byť udelené body. Za zdôvodnenie sa považuje napríklad referencia na všeobecne známe platné tvrdenia a dôkaz, že tento postup z nich vyplýva.
'''Úspešnosť požadovaná na absolvovanie predmetu''':
 * Priebežné hodnotenie:
  * súčet bodových hodnotení písomiek '''aspoň 40%'''
##  * nenulové hodnotenie na každej z priebežných písomiek
 * Skúška:
  * pri úspešnom splnení predpokladov skúšky '''sa získané body zarátavajú''' do hodnotenia skúšky
  * priebežné hodnotenie + príklady, '''aspoň 56 %'''
  * bonusový príklad '''sa nepočíta do úspešnosti'''
'''Váha pri výpočte známky'''
 * Priebežné hodnotenie: 20 % (minimálne 8b, maximálne 20b)
 * Skúška: 80 % (minimálne 36b, maximálne 80b, '''bez bonusového príkladu''')
'''Známka''' - body z intervalu [0;100+bonus]:
 * Fx: body v intervale [ 0;56)
 * E : body v intervale [56;65)
 * D : body v intervale [65;74)
 * C : body v intervale [74;83)
 * B : body v intervale [83;92)
 * A : body v intervale [92;inf)

'''Neúčasť/neúspešnosť na priebežnom hodnotení'''
## * Pri priebežnom hodnotení '''nie je nárokovateľný opravný termín'''
 * ''Náhradnú písomku'' môže študent/ka absolvovať v prípade, ak mal/a '''ospravedlnenú neúčasť na jednej z priebežných písomiek'''. Náhradná písomka sa bude písať pred riadnym termínom skúšky.
##Do priebežného hodnotenia sa zarátajú body z dvoch lepšie hodnotených písomiek. 
 * Ospravedlnená neúčasť na oboch priebežných písomkách bude riešená '''individuálne s prednášajúcim a cvičiacim'''. 
'''Neúčasť/neúspešnosť na skúške'''
 * Pri skúške '''je nárokovateľný opravný termín''', teda na absolvovanie skúšky sú k dispozícii '''2 termíny''', spravidla, ale nie nutne, sú to Riadny termín a Opravný termín
 * Pri neúčasti na Riadnom termíne alebo Opravnom termíne je možné si tento termín nahradiť na Náhradnom termíne
 * Ospravedlnenú neúčasť na 2 alebo viacerých termínoch z Riadneho termínu, Opravného termínu a Náhradného termínu je potrebné riešiť na Pedagogickom oddelení oficiálnou žiadosťou o Individuálny štúdijný plán alebo o Prerušenie štúdia, pretože ide o dlhodobú neúčasť na vyučovaní


=== Priebeh priebežného hodnotenia a skúšky ===
'''Ak niekto potrebuje pri Priebežnom hodnotení a Skúške špeciálne podmienky, napríklad zo zdravotných dôvodov, prosím, napíšte mi e-mail na jan.karabas@stuba.sk .'''<<BR>><<BR>>
Na stole na viditeľnom mieste treba mať:
 * študentský preukaz
Okrem toho môže byť na stole iba ('''nedodržanie má za následok hodnotenie Fx'''):
 * perá
 * nápoje
 * zo zdravotných dôvodov aj potraviny, lieky...
 * zošité '''oficiálne, nie vlastné''' papiere k písomke/skúške
Smie sa používať:
 * perá, také množstvo, aby sa nevypísali
 * zošité '''oficiálne, nie vlastné''' papiere k písomke/skúške
Nesmie používať a nesmie byť v dosahu ('''nedodržanie má za následok hodnotenie Fx'''):
 * všetko ostatné, špeciálne mobily, tablety, počítače, Bluetooth slúchadlá a ďalšie komunikačné zariadenia
Ďalšie pokyny:
 * treba písať v pridelenej miestnosti na pridelenom mieste podľa rozpisu
 * riešenie príkladu/otázky X treba vypracovať na oficiálny papier so zadaním príkladu/otázky X ('''časti riešenie príkladu/otázky X nenachádzajúce sa na na oficiálnom papieri so zadaním príkladu/otázky X sa neberú do úvahy pri bodovaní riešenia/odpovede príkladu/na otázku X''')
 * počas skúšky nie je možné odísť z miestnosti, teda pred odchodom treba odovzdať finálnu verziu riešení
## * vlastné riešenia je možné si fotiť až keď všetci odovzdajú
## * treba odovzdať všetky papiere ('''nedodržanie má za následok hodnotenie Fx'''), teda oficiálne papiere so zadaním aj náhradné oficiálne papiere ('''papiere nie je možné odovzdať dodatočne''', '''časti prepísané z vlastných papierov sa považujú za časti prepísané z neznámeho zdroja, teda odpísané''')

=== Pozor ===
'''Základným zdrojom pre Lineárnu algebru 2 sú prednášky, cvičenia a odporúčaná literatúra. Videá, texty a online materiály sú iba doplnkový zdroj, nie je garantované, že obsahujú všetko a vo vhodnej forme, čo bude požadované pri priebežnom hodnotení a na skúške.'''

=== Staršia verzia prednášky ===
 1. '''Pole <<latex($(\mathcal{Z}_p,\oplus_p,\odot_p)$)>>'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:prednaska1.pdf]], strany 1, 5 - 7, 13<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/RYShvddtXx0 a https://youtu.be/UuxRy0ySiI8 <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 2, príklady 1 - 5, 7 - 8, týždeň 3, príklad 6, časti b - d, týždeň 4, príklady 1 - 2, 5<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/WTn10sOhL88 a https://youtu.be/E1u89_4PAz4 <<BR>>
 rozdiely: tabuľka pre rozšírený Euklidov algoritmus má '''4 stĺpce''', pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa '''nemôže''' vynechávať ani nulový riadok, pri riešení sústavy lineárnych rovníc sa matica upravuje do '''redukovaného''' stupňovitého tvaru, riešenie sústavy lineárnych rovníc sa zapisuje do '''stĺpca'''<<BR>>
 1. '''Pole <<latex($(\mathcal{Z}_p[x],\oplus_p,\odot_p)/_{(p(x))}$)>>'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:prednaska1.pdf]], strany 8 - 10<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/z94noc6YFAk a https://youtu.be/Hz4GsqVIaao a https://youtu.be/UuxRy0ySiI8 <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 2, príklady 6, časť b, 9 - 10, týždeň 3, príklady 1 - 5<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/bwksRJg8mCc a https://youtu.be/RGep5pY-72M a https://youtu.be/E1u89_4PAz4 <<BR>>
 rozdiely: množina všetkých polynómov nad <<latex($\mathcal{R}$)>> v neurčitej <<latex($x$)>> je označená '''<<latex($\mathcal{R}[x]$)>>''', tabuľka pre rozšírený Euklidov algoritmus má '''4 stĺpce'''<<BR>>
 1. '''Pole <<latex($(\mathcal{C},+,\cdot)$)>>'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:prednaska1.pdf]], strany 1 - 5<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/Ja7oYlKlIwU a https://youtu.be/8kZk1FA82gE a https://youtu.be/saXHS6yLwms <<BR>>
 cvicenie text: [[attachment:priklady1.pdf]], kapitola 5<<BR>>
 cvicenie video: N/A<<BR>>
 rozdiely:<<BR>>
 1. '''Sústava lineárnych rovníc nad okruhom <<latex($(\mathcal{Z},+,\cdot)$)>>'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:prednaska1a.pdf]]<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/UuxRy0ySiI8 a https://youtu.be/zlVjszq8HRA <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 4, príklad 3<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/tIivbL7qnJk <<BR>>
 rozdiely: pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa '''nemôže''' vynechávať ani nulový riadok, riešenie sústavy lineárnych rovníc sa zapisuje do '''stĺpca''', Hermitov tvar matice '''nemusí spĺňať''' hodnosť matice = počet riadkov < počet stĺpcov, '''pred-Smithov tvar matice''', '''Smithov kanonický tvar matice'''<<BR>>
 1. '''Lineárne zobrazenie'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:prednaska1.pdf]], strany 21 - 24<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/GQ3zfpvBz0Q <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 6, príklady 1, 3, týždeň 7, príklady 1 - 2<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/KcCSe5xBCrg <<BR>>
 rozdiely: lineárne zobrazenie sa nazýva '''lineárne zobrazenie''', obraz <<latex($V$)>> v lineárnom zobrazení <<latex($L\colon V\to W$)>> sa označuje '''<<latex($Im(L)$)>>''', vektor sa zapisuje do '''stĺpca''', matica lineárneho zobrazenia <<latex($L\colon V\to W$)>> s bázou <<latex($\mathcal{B}_V$)>> vo <<latex($(V,+,\cdot)$)>> a bázou <<latex($\mathcal{B}_W$)>> vo <<latex($(W,+,\cdot)$)>> sa označuje '''<<latex($A_{L,\mathcal{B}_W\mathcal{B}_V}$)>>'''<<BR>>
 1. '''Podobnosť matíc, vlastné číslo matice, vlastný vektor matice, charakteristický polynóm matice'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:predn2.pdf]], strany 4, 6 - 7<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/UvOFYLZBv0k a https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 7, príklady 1, 3, týždeň 8, príklady 1 - 2<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/upuCd9MzF48 a https://youtu.be/aHUYI63EmKw <<BR>>
 rozdiely: vektor sa zapisuje do '''stĺpca''', charakteristický polynóm matice <<latex($A$)>> môže byť aj '''<<latex($|x\cdot I-A|$)>>''', pri riadkovo ekvivalentných úpravách sa '''nemôže''' vynechávať ani nulový riadok<<BR>>
 1. '''Jordanov kanonický tvar matice'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:predn2.pdf]], strany 7 - 10<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc a https://youtu.be/Y0iPM9DxAGI <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 8, príklad 4, týždeň 9, príklad 1<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/aHUYI63EmKw a https://youtu.be/HjO8QYFyDcM <<BR>>
 rozdiely: Jordanov blok má <<latex($1$)>> '''nad''' diagonálou, do matice prechodu od novej bázy zo zovšeobecnených vlastných vektorov k starej báze sa reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov <<latex($v_1\leftarrow v_2\leftarrow v_3\leftarrow\cdots\leftarrow v_k$)>> zapisuje '''zľava''' od vlasného vektoru aka <<latex($1$)>>-zovšeobecneného vlastného vektoru <<latex($v_1$)>> '''doprava''' po <<latex($k$)>>-zovšeobecnený vlasný vektor <<latex($v_k$)>><<BR>>
 1. '''Minimálny polynóm matice, minimálny polynóm vektoru vzhľadom na maticu, matica pridružená k polynómu'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:predn2.pdf]], strany 1 - 3<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/UvOFYLZBv0k a https://youtu.be/Y0iPM9DxAGI a https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 7, príklady 5 - 8, týždeň 8, príklad 3<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/upuCd9MzF48 a https://youtu.be/aHUYI63EmKw <<BR>>
 rozdiely: matica pridružená k polynómu <<latex($f(x)$)>> stupňa <<latex($n$)>> má <<latex($1$)>> '''nad''' diagonálou a koeficienty normovaného polynómu asociovaného s <<latex($f(x)$)>> okrem vedúceho v stĺpci '''<<latex($1$)>>''' pričom v riadku <<latex($1$)>> je koeficient pri '''<<latex($x^{n-1}$)>>''' a v riadku <<latex($n$)>> je koeficient pri '''<<latex($x^0$)>>'''<<BR>>
 1. '''Metóda najmenších štvorcov, ortonormálna matica, ortonormálna podobnosť matíc'''<<BR>>
 prednáška text: [[attachment:predn3.pdf]], strany 1 - 5<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/mrI6qAWy0iI <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 10, príklady 1 - 4, týždeň 11 - 12, príklad 1<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/yN9iUoRFIeM <<BR>>
 rozdiely: vektor sa zapisuje do '''stĺpca''', neznáme koeficienty aproximačného polynómu zodpovedajú stĺpcom matice príslušnej sútavy lineárncyh rovníc v poradí zľava doprava '''<<latex($f_0$)>>, <<latex($f_1$)>>, <<latex($f_2$)>>, ..., <<latex($f_n$)>>'''<<BR>>
 1. '''Zhodné zobrazenie v <<latex($(\mathcal{R}^2,+,\cdot)$)>>, zhodné zobrazenie v <<latex($(\mathcal{R}^3,+,\cdot)$)>>'''<<BR>>
 prednáška text:<<BR>>
 prednáška video: https://youtu.be/rfHMNLuqudM <<BR>>
 cvičenie text: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 11 - 12, príklady 2 - 4<<BR>>
 cvičenie video: https://youtu.be/gzbHSHVUU-E <<BR>>
 rozdiely: vektor sa zapisuje do '''stĺpca'''<<BR>>
## 1. '''Bilineárna forma, kvadratická forma, kongruentnosť matíc'''<<BR>>
## prednáška text:<<BR>>
## prednáška video:<<BR>>
## cvičenie text:<<BR>>
## cvičenie video:<<BR>>
## rozdiely:<<BR>>
## 1. '''Príprava na skúšku'''<<BR>>
## skúšky z rokov 2023 a 2024 a Literatúra\M. Zajac: Príklady Lineárna algebra 2\[[attachment:zbierkauloh.pdf]]<<BR>>
##  1. '''Kvadrika v <<latex($(\mathcal{R}^2,+,\cdot)$)>>, kvadrika v <<latex($(\mathcal{R}^3,+,\cdot)$)>>'''<<BR>>
##  prednáška text: [[attachment:predn4.pdf]], [[attachment:geometria.pdf]], strany 32 - 43, [[attachment:predn3.pdf]], strany 3 - 4, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/zlatos_LAG.pdf, strany 471 - 482<<BR>>
##  prednáška video: https://youtu.be/-Rf0BiKrKFg <<BR>>
##  cvicenie text: [[attachment:priklady1.pdf]], kapitola 11<<BR>>
##  cvicenie video: https://youtu.be/rjmmOOCUhpI <<BR>>
##  rozdiely: vektor sa zapisuje do '''stĺpca'''<<BR>>

## bonus: https://xpopikt-didactic-application.herokuapp.com/ <<BR>>

## === Chyby ===
## Objavené chyby:
## * vo video prednáškach: ...
## * vo video cvičeniach: ...





## === Termíny ===
## Priebežné hodnotenie:
##  * Písomka 1: ..., čistý čas 40 minút<<BR>>
##  * Písomka 2: ..., čistý čas 40 minút<<BR>>
##  * Písomka 3: ..., čistý čas 40 minút<<BR>>
##  * Náhradná písomka: ..., čistý čas 40 minút, je možné si nahradiť '''jednu''' z Písomiek 1 - 3<<BR>>
## Skúška:
##  * Skorý termín: ..., čistý čas 3 hodiny, '''je považovaný za Riadny termín'''
##  * Riadny termín: ..., čistý čas 3 hodiny
##  * Opravný termín: ..., čistý čas 3 hodiny, '''termín nie je vhodný pre študentov prihlásených na Bc. štátne skúšky, z termínu budú odhlásení'''
##  * Náhradný termín: ..., čistý čas 3 hodiny, '''termín nie je vhodný pre študentov prihlásených na Bc. štátne skúšky, z termínu budú odhlásení'''

## Upresnenie: '''Na Opravný termín xx.xx.xxxx sa môžu na vlastné riziko prihlásiť aj študenti prihlásení na Bc. štátne skúšky'''. Výsledky z tohto termínu budú v AIS približne xx.xx.xxxx. '''Ak bude nejaký relevantný subjekt požadovať výsledky študentov prihlásených na Bc. štátne skúšky z tohto termínu skôr než xx.xx.xxxx vrátane, budú študenti prihlásení na Bc. štátne skúšky z tohto termínu odhlásení.'''

## Rozvrh skúšok pre všetky predmety:
##  * https://www.fei.stuba.sk/sk/aktuality-a-informacie/rozvrh-skusok-fei-stu.html

##pri každej otázke treba vybrať práve jednu správnu možnosť z a. - d., '''odpovede netreba zdôvodňovať''', všetky otázky majú rovnakú váhu
##'''súčasťou správneho riešenia je správny postup''', ak sú v riešení chyby, body sa udeľujú iba za časti, ktoré nie sú chybami ovplyvnené, všetky príklady majú rovnakú váhu

## === Video prednášky a video cvičenia z predchádzajúcich rokov ===
##  1. Týždeň 1<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/RYShvddtXx0 <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/WTn10sOhL88 <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 1, príklady 5 - 6, týždeň 2, príklady 1 - 5, 7 - 8<<BR>>
##  2. Týždeň 2<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/z94noc6YFAk <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/bwksRJg8mCc <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 2, príklady 6, 9 - 10, týždeň 3, príklad 1<<BR>>
##  3. Týždeň 3<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/Hz4GsqVIaao <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/RGep5pY-72M <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 3, príklady 1 - 5<<BR>>
##  4. Týždeň 4<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/UuxRy0ySiI8 <<BR>>
##  Cvičenie  https://youtu.be/E1u89_4PAz4 <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 4, príklady 1 - 2<<BR>>
##  5. Týždeň 5<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/zlVjszq8HRA <<BR>>
##  Cvičenie  https://youtu.be/tIivbL7qnJk <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 4, príklad 3, [[attachment:prednaska1a.pdf]], strana 5<<BR>>
##  6. Týždeň 6<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/L9UIZeR59Ow <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/URdpwz-RlrM a https://youtu.be/4-QvadJje1I <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 5, príklady 1 - 5<<BR>>
##  7. Týždeň 7<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/GQ3zfpvBz0Q <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/KcCSe5xBCrg <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 6, príklady 1 - 3, týždeň 7, príklady 1 - 2<<BR>>
##  8. Týždeň 8<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/UvOFYLZBv0k <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/upuCd9MzF48 <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 7, príklady 3, 5 - 8, týždeň 8, príklad 1<<BR>>
##  9. Týždeň 9<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/VPr_b_6Ijzc <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/aHUYI63EmKw <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 8, príklady 1 - 4<<BR>>
##  10. Týždeň 10<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/Y0iPM9DxAGI <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/HjO8QYFyDcM <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 9<<BR>>
##  11. Týždeň 11<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/mrI6qAWy0iI <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/yN9iUoRFIeM <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 10, príklady 1 - 3, týždeň 11, príklad 1<<BR>>
##  12. Týždeň 12<<BR>>
##  Prednáška https://youtu.be/rfHMNLuqudM <<BR>>
##  Cvičenie https://youtu.be/gzbHSHVUU-E <<BR>>
##  Domáca úloha: [[attachment:prikladyLA2.pdf]], týždeň 11 - 12, príklady 2 - 4<<BR>>

##   [[attachment:predn-3-5.pdf]]
##   [[attachment:tyzden-1.pdf]]    [[attachment:tyzden-1.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-2.pdf]]    [[attachment:tyzden-2.ps]] 
##   [[attachment:tyzden-3.pdf]]    [[attachment:tyzden-3.ps]]
##   [[attachment:tyzden-4-5.pdf]]  [[attachment:tyzden-4-5.ps]] 
##   [[attachment:tyzden-5.pdf]]    [[attachment:tyzden-5.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-6.pdf]]    [[attachment:tyzden-6.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-7.pdf]]    [[attachment:tyzden-7.ps]]
##   [[attachment:tyzden-8-9.pdf]]  [[attachment:tyzden-8-9.ps]]
##   [[attachment:tyzden-9.pdf]]    [[attachment:tyzden-9.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-10.pdf]]   [[attachment:tyzden-10.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-11-12.pdf]][[attachment:tyzden-11-12.ps]]  
##   [[attachment:tyzden-10-12.pdf]][[attachment:tyzden-10-12.ps]]          
##   [[attachment:tyzden-5.pdf]]    [[attachment:tyzden-5.ps]]
##   [[attachment:tyzden-6.pdf]]    [[attachment:tyzden-6.ps]]
##   [[attachment:tyzden-7.pdf]]    [[attachment:tyzden-7.ps]]
##   [[attachment:tyzden-8.pdf]]    [[attachment:tyzden-8.ps]]
##   [[attachment:tyzden-9-10.pdf]] [[attachment:tyzden-9-10.ps]]
##   [[attachment:tyzden-11-12.pdf]][[attachment:tyzden-11-12.ps]]

##Počas semestra budú vo štvrtok v čase prednášky v ais testy (s výberom správnej odpovede). Za prvý (24.2.) budú ##maximálne 3 body, ďalšie 4 testy budú 5-bodové. Podmienkou účasti na skúške bude získanie aspoň 10 bodov za ##senester. Žiadne opravné ani náhradné testy sa riešiť nebudú. Na skúške potom môže študent získať ešte 80 bodov.   
##písať 1 písomka (30 bodov). Za prácu na cvičeniach môže študent získať ešte maximálne 6 "bonusových" bodov. ##Zápočet dostane študent, ktorý získa za semester ##aspoň 15 bodov. Na zápočtových písomkách ani na skúške nie je ##povolené používať kalkulačky. Povolený je "ťahák" 2 strany (jeden list) A5 (t.j. 148 x 210 mm) ##napísaný rukou. 
##'''Povinná hlavička ťaháku:'''  "Meno Priezvisko, ťahák na LA2". Ťahák sa odovzdáva spolu s riešením.  
## 4. Linky na cvičenia nájdete vyššie (viď. '''ROZVRH'''). Link, ako si založit konto pre MS Teams:
##    https://www.stuba.sk/sk/pracoviska/centrum-vypoctovej-techniky/cinnosti-a-sluzby/office-365-education.html
## 5. Študenti budú písať počas semestra online formou '''20 bodovú zápočtovú písomku 11.11.2021 v čase ##prednášky'''. Získané body budú bodmi ku skúške.
## 6. '''Na získanie zápočtu je potrebné získať 5 bodov za písomku.'''
## 7. Nutnou podmienkou účasti na skúške je zápočet.
## Zmeň priklady.pdf na vhodnejšie meno súboru
## Príklady a cvičenia: attachment:priklady.pdf
## [attachment:vysledky_A.xls Tuto je popis súboru s výsledkami]
## [attachment:UV.xls Nejaký iný súbor]
##Na skúške nie je povolené používať kalkulačky. Povolený je "ťahák" 2 strany (jeden list) A5 (t.j. 148 x 210 mm) napísaný rukou. 
##'''Povinná hlavička ťaháku:'''  "Meno Priezvisko, ťahák na LA2". Ťahák sa odovzdáva spolu s riešením.  
##Na písomku si doneste niekoľko listov papiera A4 (môžete na ne vopred napísať svoje meno, deň a hodinu cvičenia a meno cvičiacej), 
##povolený ťahák a perá a prípadne ceruzky. Nič iné na zápočte nie je povolené.
##Na náhradnom termíne sa môžu zúčastniť študenti, ktorí 
##1) majú zápočet
##2) na skúške  19.12.2017 a/alebo 30.1.2018 sa nezúčastnili a ospravedlnili sa
##3) prihlásia sa na tento termín mailom na michal.zajac@stuba.sk
##Študenti, ktorí majú zápočet a na prvom termíne neuspeli sa na opravný termín nemusia prihlasovať, študenti, ktorí už skúšku urobili, ##ale si chcú hodnotenie zlepšiť sa musia prihlásiť, napísať najneskôr 28.1. na  michal.zajac@stuba.sk. 
##Riešenie prvého termínu si môžete pozrieť tu  [[attachment:riesenieRT.pdf]]
##Ukážka skúškovej písomky z minulých rokov [[attachment:riesenie.pdf]] 
##Skúšam všetku odprednášanú látku. Na skúške je zakázané používať kalkulačku, povolený je len rukou napísaný a '''podpísaný''' "ťahák na LA",  Maximálny  rozsah "ťaháka" je 1 list (2 strany) A4. Ťahák sa odovzdáva spolu s riešením. Príklady na prípravu sú v súboroch tyzden-1 --- tyzden-12 na tejto stránke. 
##1) Študenti, ktorí majú zápočet a neurobili skúšku sú automaticky zapísaní na opravný termín, 
##2) študenti, ktorí už majú skúšku a chcú si hodnotenie vylepšiť sa musia prihlásiť mne mailom do 9.2. 12:00 
##'''17.júna 2020''' riešenie  skúšky 10.6. [[attachment:riesenie100.pdf]]<<BR>>
##'''28.5 2021''' riešenie  skúšky 21.5. [[attachment:skuska21maj.pdf]]<<BR>>
##'''17.6. 2021''' riešenie  skúšky 17.6. bude uverejnené tu 
##[[attachment:OT-Pr1-2.pdf]]   [[attachment:OT-Pr1-4.pdf]] [[attachment:OT-Pr1-6.pdf]] <<BR>>
##riešenie OT skúšky 24.6.2020 [[attachment:riesenieOT.pdf]]
##Zápočtové testy [[attachment:KdeNajdemTest.pdf]]<<BR>>
##V súbore [[attachment:otazky.pdf]] (6.6.2020) sú vaše '''otázky''' (poslané na michal.zajac@stuba.sk) a moje '''odpovede'''. doc. Michal Zajac 
##Kurz LA na MIT: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/syllabus/ <<BR>>
##1) prikladyLA2.pdf:  T1/priklady 3-5;  T2/1,5-10;  T3/1-4,6;  T4/1-4 T5/1-5<<BR>>
##2) tyzden-1.pdf/1-4;  tyzden-2.pdf vsetko;  tyzden-3.pdf/1-4,6;  tyzden-4-5.pdf/7,11;  tyzden 6/1-4,6
##'''29. apríla''' Náplň skúšky: Úlohy aké sú v súbore prikladyLA2.pdf, T2/1-5, 7-10; T3/1-5; T4/1-5; T5/1-5; T6/1-3; T7/1-3, 5-8; T8/1-4; T9/1; T10/1-3; ##T11-12/1,2,4.<<BR>>
##[[attachment:pisomka1.pdf]]
##[[attachment:prikladyLA2.ps]]   [[attachment:prikladyLA2.pdf]]  

##  * Test:
##   * 2 "single choice" otázky s výberom z a) - d) z okruhov 1 - 4
##   * 2 "single choice" otázky s výberom z a) - d) z okruhov 5 - 8
##   * 2 "single choice" otázky s výberom z a) - d) z okruhov 9 - 12
##   * 2 otvorené otázky z okruhov 1 - 4
##   * 2 otvorené otázky z okruhov 5 - 8
##   * 2 otvorené otázky z okruhov 9 - 12
##   * 2 bonusove otvorené otázky na Riadom termine


##  * Test:
##   * "Single choice" otázky: stačí vybrať správnu odpoveď z a) - d), '''odpoveď netreba zdôvodňovať'''
##   * Otvorené otázky: stačí uviesť správnu odpoveď, '''odpoveď netreba zdôvodňovať'''
##   * Bonusove otvorené otázky: '''súčasťou správnej odpovede je správne zdôvodnenie'''

## 1. M. Hejný, V. Zaťko, P. Kršňák: Geometria 1, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, Bratislava, 1985.
## 1. V. Havel, J. Holenda: Lineární algebra. ALFA, Bratislava, 1984.
## 1. J. Glyn: Advanced Modern Engineering Mathematics, Addison-Wesey, 1992.
## 1. C. D. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2000.
##[[attachment:prednLinPr.ps]] , [[attachment:prednLinPr.pdf]] (25.2.2009) 
## http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html


##  * Test:
##   * "Single choice" otázky: za každú otázku sa dajú získať 2 bodíky
##   * Otvorené otázky: za každú otázku sa dajú získať 2 bodíky
##   * Bonusove otvorené otázky: za každú otázku sa dajú získať 2 bodíky